初级微积分示例

$(\sqrt{32}, \sqrt{32})$

解题步骤 1

使用换算公式，把直角坐标系 $(x, y)$ 转换成极坐标系 $(r, θ)$ 。

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 2

使用实际值替换 $x$ 和 $y$ 。

$r = \sqrt{{(\sqrt{32})}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3

求极坐标的大小。

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解题步骤 3.1

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$r = \sqrt{{\sqrt{16 (2)}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.1.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$r = \sqrt{{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.2

从根式下提出各项。

$r = \sqrt{{(4 \sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

对 $4 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$r = \sqrt{4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.3.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{16 {\sqrt{2}}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.4

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$r = \sqrt{16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$r = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.1

约去公因数。

$r = \sqrt{16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.4.4.2

重写表达式。

$r = \sqrt{16 \cdot 2 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{16 \cdot 2 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.4.5

计算指数。

$r = \sqrt{16 \cdot 2 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{16 \cdot 2 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.5

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$r = \sqrt{32 + {(\sqrt{32})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.6

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.6.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$r = \sqrt{32 + {\sqrt{16 (2)}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.6.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$r = \sqrt{32 + {\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{32 + {\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.7

从根式下提出各项。

$r = \sqrt{32 + {(4 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8

化简表达式。

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解题步骤 3.8.1

对 $4 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$r = \sqrt{32 + 4^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.8.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{32 + 16 {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.9

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$r = \sqrt{32 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.4.1

约去公因数。

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.9.4.2

重写表达式。

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.9.5

计算指数。

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{32 + 16 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.10

化简表达式。

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解题步骤 3.10.1

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$r = \sqrt{32 + 32}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.10.2

将 $32$ 和 $32$ 相加。

$r = \sqrt{64}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.10.3

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$r = \sqrt{8^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 3.10.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$r = 8$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 8$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 8$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

解题步骤 4

使用实际值替换 $x$ 和 $y$ 。

$r = 8$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{32}})$

解题步骤 5

$1$ 的反正切为 $θ = 45 °$ 。

$r = 8$

$θ = 45 °$

解题步骤 6

这是 $(r, θ)$ 形式的转换成极坐标的结果。

$(8, 45 °)$

初级微积分 示例

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