初级微积分示例

${(3 + 3 i)}^{7}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

$3^{7} + 7 \cdot 3^{6} (3 i) + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

对 $3$ 进行 $7$ 次方运算。

$2187 + 7 \cdot 3^{6} (3 i) + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.2

通过指数相加将 $3^{6}$ 乘以 $3$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

移动 $3$ 。

$2187 + 7 \cdot (3 \cdot 3^{6}) i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $3$ 乘以 $3^{6}$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$2187 + 7 \cdot (3^{1} \cdot 3^{6}) i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2187 + 7 \cdot 3^{1 + 6} i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.2.3

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$2187 + 7 \cdot 3^{7} i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.3

对 $3$ 进行 $7$ 次方运算。

$2187 + 7 \cdot 2187 i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.4

将 $7$ 乘以 $2187$ 。

$2187 + 15309 i + 21 \cdot 3^{5} {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.5

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$2187 + 15309 i + 21 \cdot 243 {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.6

将 $21$ 乘以 $243$ 。

$2187 + 15309 i + 5103 {(3 i)}^{2} + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.7

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$2187 + 15309 i + 5103 (3^{2} i^{2}) + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$2187 + 15309 i + 5103 (9 i^{2}) + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.9

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$2187 + 15309 i + 5103 (9 \cdot - 1) + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.10

乘以 $5103 (9 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.10.1

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$2187 + 15309 i + 5103 \cdot - 9 + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.10.2

将 $5103$ 乘以 $- 9$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 + 35 \cdot 3^{4} {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.11

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$2187 + 15309 i - 45927 + 35 \cdot 81 {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.12

将 $35$ 乘以 $81$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 {(3 i)}^{3} + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.13

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (3^{3} i^{3}) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.14

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (27 i^{3}) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.15

因式分解出 $i^{2}$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (27 (i^{2} \cdot i)) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.16

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (27 (- 1 \cdot i)) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.17

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (27 (- i)) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.18

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 + 2835 (- 27 i) + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.19

将 $- 27$ 乘以 $2835$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 35 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.20

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 35 \cdot 27 {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.21

将 $35$ 乘以 $27$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 {(3 i)}^{4} + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.22

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 (3^{4} i^{4}) + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.23

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 (81 i^{4}) + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.24

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.24.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 (81 {(i^{2})}^{2}) + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.24.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 (81 {(- 1)}^{2}) + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.24.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 (81 \cdot 1) + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.25

乘以 $945 (81 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 2.1.25.1

将 $81$ 乘以 $1$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 945 \cdot 81 + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.25.2

将 $945$ 乘以 $81$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 21 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.26

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 21 \cdot 9 {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.27

将 $21$ 乘以 $9$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 {(3 i)}^{5} + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.28

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (3^{5} i^{5}) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.29

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 i^{5}) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.30

因式分解出 $i^{4}$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 (i^{4} i)) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.31

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.31.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 ({(i^{2})}^{2} i)) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.31.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 ({(- 1)}^{2} i)) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.31.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 (1 i)) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.32

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 189 (243 i) + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.33

将 $243$ 乘以 $189$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 7 \cdot 3 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.34

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 {(3 i)}^{6} + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.35

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (3^{6} i^{6}) + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.36

对 $3$ 进行 $6$ 次方运算。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 i^{6}) + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.37

因式分解出 $i^{4}$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 (i^{4} i^{2})) + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.38

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.38.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 ({(i^{2})}^{2} i^{2})) + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.38.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 ({(- 1)}^{2} i^{2})) + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.38.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 (1 i^{2})) + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.39

将 $i^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 i^{2}) + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.40

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 (729 \cdot - 1) + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.41

乘以 $21 (729 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.41.1

将 $729$ 乘以 $- 1$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i + 21 \cdot - 729 + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.41.2

将 $21$ 乘以 $- 729$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + {(3 i)}^{7}$

解题步骤 2.1.42

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 3^{7} i^{7}$

解题步骤 2.1.43

对 $3$ 进行 $7$ 次方运算。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 i^{7}$

解题步骤 2.1.44

将 $i^{7}$ 重写为 $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ 。

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解题步骤 2.1.44.1

因式分解出 $i^{4}$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (i^{4} i^{3})$

解题步骤 2.1.44.2

因式分解出 $i^{2}$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (i^{4} (i^{2} \cdot i))$

解题步骤 2.1.45

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.45.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i))$

解题步骤 2.1.45.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i))$

解题步骤 2.1.45.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (1 (i^{2} \cdot i))$

解题步骤 2.1.46

将 $i^{2} \cdot i$ 乘以 $1$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (i^{2} \cdot i)$

解题步骤 2.1.47

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (- 1 \cdot i)$

解题步骤 2.1.48

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 + 2187 (- i)$

解题步骤 2.1.49

将 $- 1$ 乘以 $2187$ 。

$2187 + 15309 i - 45927 - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 - 2187 i$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $2187$ 中减去 $45927$ 。

$- 43740 + 15309 i - 76545 i + 76545 + 45927 i - 15309 - 2187 i$

解题步骤 2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- 43740$ 和 $76545$ 相加。

$32805 + 15309 i - 76545 i + 45927 i - 15309 - 2187 i$

解题步骤 2.2.2.2

从 $32805$ 中减去 $15309$ 。

$17496 + 15309 i - 76545 i + 45927 i - 2187 i$

解题步骤 2.2.3

从 $15309 i$ 中减去 $76545 i$ 。

$17496 - 61236 i + 45927 i - 2187 i$

解题步骤 2.2.4

将 $- 61236 i$ 和 $45927 i$ 相加。

$17496 - 15309 i - 2187 i$

解题步骤 2.2.5

从 $- 15309 i$ 中减去 $2187 i$ 。

$17496 - 17496 i$

解题步骤 3

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 4

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5

代入 $a = 17496$ 和 $b = - 17496$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(- 17496)}^{2} + 17496^{2}}$

解题步骤 6

求 $| z |$ 。

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解题步骤 6.1

对 $- 17496$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{306110016 + 17496^{2}}$

解题步骤 6.2

对 $17496$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{306110016 + 306110016}$

解题步骤 6.3

将 $306110016$ 和 $306110016$ 相加。

$| z | = \sqrt{612220032}$

解题步骤 6.4

将 $612220032$ 重写为 $17496^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.4.1

从 $612220032$ 中分解出因数 $306110016$ 。

$| z | = \sqrt{306110016 (2)}$

解题步骤 6.4.2

将 $306110016$ 重写为 $17496^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{17496^{2} \cdot 2}$

解题步骤 6.5

从根式下提出各项。

$| z | = 17496 \sqrt{2}$

解题步骤 7

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{- 17496}{17496})$

解题步骤 8

因为 $\frac{- 17496}{17496}$ 的反正切得出位于第四象限的一个角，所以其角度为 $- \frac{π}{4}$ 。

$θ = - \frac{π}{4}$

解题步骤 9

代入 $θ = - \frac{π}{4}$ 和 $| z | = 17496 \sqrt{2}$ 的值。

$17496 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$

初级微积分 示例

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