初级微积分示例

${(a - 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 1

使用二项式展开定理求每一项。二项式定理表述为 ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ 。

$\sum_{k = 0}^{4} \frac{4!}{(4 - k)! k!} \cdot {(a)}^{4 - k} \cdot {(- 2 b^{2})}^{k}$

解题步骤 2

展开求和公式。

$\frac{4!}{(4 - 0)! 0!} {(a)}^{4 - 0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{0} + \frac{4!}{(4 - 1)! 1!} {(a)}^{4 - 1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + \frac{4!}{(4 - 2)! 2!} {(a)}^{4 - 2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + \frac{4!}{(4 - 3)! 3!} {(a)}^{4 - 3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + \frac{4!}{(4 - 4)! 4!} {(a)}^{4 - 4} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 3

化简展开式每一项的指数。

$1 \cdot {(a)}^{4} \cdot {(- 2 b^{2})}^{0} + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(a)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

${(a)}^{4} \cdot {(- 2 b^{2})}^{0} + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.2

对 $- 2 b^{2}$ 运用乘积法则。

$a^{4} \cdot ({(- 2)}^{0} {(b^{2})}^{0}) + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.3

使用乘法的交换性质重写。

${(- 2)}^{0} a^{4} {(b^{2})}^{0} + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 a^{4} {(b^{2})}^{0} + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.5

将 $a^{4}$ 乘以 $1$ 。

$a^{4} {(b^{2})}^{0} + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.6

将 ${(b^{2})}^{0}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$a^{4} b^{2 \cdot 0} + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.6.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$a^{4} b^{0} + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.7

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a^{4} \cdot 1 + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.8

将 $a^{4}$ 乘以 $1$ 。

$a^{4} + 4 \cdot {(a)}^{3} \cdot {(- 2 b^{2})}^{1} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.9

化简。

$a^{4} + 4 a^{3} \cdot (- 2 b^{2}) + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.10

使用乘法的交换性质重写。

$a^{4} + 4 \cdot - 2 a^{3} b^{2} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.11

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 6 \cdot {(a)}^{2} \cdot {(- 2 b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.12

对 $- 2 b^{2}$ 运用乘积法则。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 6 a^{2} \cdot ({(- 2)}^{2} {(b^{2})}^{2}) + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.13

使用乘法的交换性质重写。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 6 \cdot {(- 2)}^{2} a^{2} {(b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.14

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 6 \cdot 4 a^{2} {(b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.15

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} {(b^{2})}^{2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.16

将 ${(b^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.16.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{2 \cdot 2} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.16.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} + 4 \cdot {(a)}^{1} \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.17

化简。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} + 4 \cdot a \cdot {(- 2 b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.18

对 $- 2 b^{2}$ 运用乘积法则。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} + 4 a \cdot ({(- 2)}^{3} {(b^{2})}^{3}) + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.19

使用乘法的交换性质重写。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} + 4 \cdot {(- 2)}^{3} a {(b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.20

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} + 4 \cdot - 8 a {(b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.21

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a {(b^{2})}^{3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.22

将 ${(b^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.22.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{2 \cdot 3} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.22.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{6} + 1 \cdot {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.23

将 ${(a)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{6} + {(a)}^{0} \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.24

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{6} + 1 \cdot {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.25

将 ${(- 2 b^{2})}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{6} + {(- 2 b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.26

对 $- 2 b^{2}$ 运用乘积法则。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{6} + {(- 2)}^{4} {(b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.27

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{6} + 16 {(b^{2})}^{4}$

解题步骤 4.28

将 ${(b^{2})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.28.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{6} + 16 b^{2 \cdot 4}$

解题步骤 4.28.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$a^{4} - 8 a^{3} b^{2} + 24 a^{2} b^{4} - 32 a b^{6} + 16 b^{8}$

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