初级微积分示例

$4 x^{3} - 3$

解题步骤 1

交换变量。

$x = 4 y^{3} - 3$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $4 y^{3} - 3 = x$ 。

$4 y^{3} - 3 = x$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$4 y^{3} = x + 3$

解题步骤 2.3

将 $4 y^{3} = x + 3$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $4 y^{3} = x + 3$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $y^{3}$ 除以 $1$ 。

$y^{3} = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

解题步骤 2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{4} + \frac{3}{4}}$

解题步骤 2.5

化简 $\sqrt[3]{\frac{x}{4} + \frac{3}{4}}$ 。

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解题步骤 2.5.1

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 3}{4}}$

解题步骤 2.5.2

将 $\sqrt[3]{\frac{x + 3}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{4}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{4}}$

解题步骤 2.5.3

将 $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{4}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

解题步骤 2.5.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $\frac{\sqrt[3]{x + 3}}{\sqrt[3]{4}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.2

对 $\sqrt[3]{4}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

解题步骤 2.5.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

解题步骤 2.5.4.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

解题步骤 2.5.4.5

将 ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ 重写为 $4$ 。

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解题步骤 2.5.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{4}$ 重写成 $4^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 2.5.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 2.5.4.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 2.5.4.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.4.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 2.5.4.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

解题步骤 2.5.4.5.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

解题步骤 2.5.5

化简分子。

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解题步骤 2.5.5.1

将 ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{4^{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

解题步骤 2.5.5.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{16}}{4}$

解题步骤 2.5.5.3

将 $16$ 重写为 $2^{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.5.5.3.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

解题步骤 2.5.5.3.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 2.5.5.4

从根式下提出各项。

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 3} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

解题步骤 2.5.5.5

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x + 3) \cdot 2}}{4}$

解题步骤 2.5.6

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.5.6.1

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.6.1.1

从 $2 \sqrt[3]{(x + 3) \cdot 2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (\sqrt[3]{(x + 3) \cdot 2})}{4}$

解题步骤 2.5.6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.6.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x + 3) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.6.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x + 3) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.5.6.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 3) \cdot 2}}{2}$

解题步骤 2.5.6.2

将 $\frac{\sqrt[3]{(x + 3) \cdot 2}}{2}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}$ 是否为 $f (x) = 4 x^{3} - 3$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (4 x^{3} - 3)$ 。

$f^{- 1} (4 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{2 ((4 x^{3} - 3) + 3)}}{2}$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- 3$ 和 $3$ 相加。

$f^{- 1} (4 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{2 (4 x^{3} + 0)}}{2}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (4 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{2 \cdot (4 x^{3})}}{2}$

解题步骤 4.2.3.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (4 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

解题步骤 4.2.3.4

将 $8 x^{3}$ 重写为 ${(2 x)}^{3}$ 。

$f^{- 1} (4 x^{3} - 3) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

解题步骤 4.2.3.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (4 x^{3} - 3) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 4.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (4 x^{3} - 3) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 4.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (4 x^{3} - 3) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2})$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 {(\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2})}^{3} - 3$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

对 $\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}^{3}}{2^{3}}) - 3$

解题步骤 4.3.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.3.3.2.1

将 ${\sqrt[3]{2 (x + 3)}}^{3}$ 重写为 $2 (x + 3)$ 。

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解题步骤 4.3.3.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2 (x + 3)}$ 重写成 ${(2 (x + 3))}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{{({(2 (x + 3))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 3$

解题步骤 4.3.3.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 3$

解题步骤 4.3.3.2.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 3$

解题步骤 4.3.3.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.1.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{{(2 (x + 3))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 3$

解题步骤 4.3.3.2.1.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 3)}{2^{3}}) - 3$

解题步骤 4.3.3.2.1.5

化简。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 3)}{2^{3}}) - 3$

解题步骤 4.3.3.2.2

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 x + 2 \cdot 3}{2^{3}}) - 3$

解题步骤 4.3.3.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 x + 6}{2^{3}}) - 3$

解题步骤 4.3.3.2.4

从 $2 x + 6$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 4.3.3.2.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x) + 6}{2^{3}}) - 3$

解题步骤 4.3.3.2.4.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 x + 2 \cdot 3}{2^{3}}) - 3$

解题步骤 4.3.3.2.4.3

从 $2 x + 2 \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 3)}{2^{3}}) - 3$

解题步骤 4.3.3.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 3)}{8}) - 3$

解题步骤 4.3.3.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 3)}{4 (2)}) - 3$

解题步骤 4.3.3.4.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = 4 (\frac{2 (x + 3)}{4 \cdot 2}) - 3$

解题步骤 4.3.3.4.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

解题步骤 4.3.3.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.5.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = \frac{2 (x + 3)}{2} - 3$

解题步骤 4.3.3.5.2

用 $x + 3$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = x + 3 - 3$

解题步骤 4.3.4

合并 $x + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = x + 0$

解题步骤 4.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}$ 为 $f (x) = 4 x^{3} - 3$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{2 (x + 3)}}{2}$

初级微积分 示例

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