初级微积分示例

$\frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x + 1} \geq 0$

解题步骤 1

交叉相乘。

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解题步骤 1.1

通过将右边分子和左边分母的乘积设为等于左边分子和右边分母的乘积来进行交叉相乘。

$0 \cdot (x + 1) \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

将 $0$ 乘以 $x + 1$ 。

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1}$

解题步骤 1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1

化简 $\sqrt{x^{2} - 1}$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$0 \geq \sqrt{x^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 1.3.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$0 \geq \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 2

重写为 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 在不等式左边的形式。

$\sqrt{(x + 1) (x - 1)} \leq 0$

解题步骤 3

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}^{2} \leq 0^{2}$

解题步骤 4

化简不等式的两边。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ 重写成 ${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

将 ${({((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${((x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${((x + 1) (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.1

运用分配律。

${(x (x - 1) + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.1.2.2

运用分配律。

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))}^{1} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.1.2.3

运用分配律。

${(x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

${(x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

${(x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.1.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

${(x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.1.3.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

${(x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

${(x^{2} - x + x - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.1.3.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

${(x^{2} + 0 - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.1.3.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

${(x^{2} - 1)}^{1} \leq 0^{2}$

解题步骤 4.2.1.4

化简。

$x^{2} - 1 \leq 0^{2}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x^{2} - 1 \leq 0$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

在不等式两边同时加上 $1$ 。

$x^{2} \leq 1$

解题步骤 5.2

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{1}$

解题步骤 5.3

化简方程。

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解题步骤 5.3.1

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{1}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| x | \leq 1$

解题步骤 5.4

将 $| x | \leq 1$ 书写为分段式。

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解题步骤 5.4.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 5.4.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq 1$

解题步骤 5.4.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 5.4.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq 1$

解题步骤 5.4.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq 1 & x \geq 0 \\ - x \leq 1 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 5.5

求 $x \leq 1$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq 1$

解题步骤 5.6

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq 1$ 。

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解题步骤 5.6.1

将 $- x \leq 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.6.1.1

将 $- x \leq 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{1}{- 1}$

解题步骤 5.6.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.6.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{1}{- 1}$

解题步骤 5.6.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{1}{- 1}$

解题步骤 5.6.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.6.1.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$x \geq - 1$

解题步骤 5.6.2

求 $x \geq - 1$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- 1 \leq x < 0$

解题步骤 5.7

求解的并集。

$- 1 \leq x \leq 1$

解题步骤 6

把不等式转换成区间计数法。

$[- 1, 1]$

解题步骤 7

初级微积分 示例

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