初级微积分示例

$x = y^{2} - 4 y$

解题步骤 1

将方程重写为 $y^{2} - 4 y = x$ 。

$y^{2} - 4 y = x$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$y^{2} - 4 y - x = 0$

解题步骤 3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4

将 $a = 1$ 、 $b = - 4$ 和 $c = - x$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

从 ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 中分解出因数 $- 4$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

从 ${(- 4)}^{2}$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.1.2

从 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.1.3

从 $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3

将 $- 4 (- 4 - x)$ 重写为 $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3.3

添加圆括号。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.4

从根式下提出各项。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

解题步骤 5.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ 。

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

解题步骤 6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

从 ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 中分解出因数 $- 4$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

从 ${(- 4)}^{2}$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.1.2

从 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.1.3

从 $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.3

将 $- 4 (- 4 - x)$ 重写为 $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.3.3

添加圆括号。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.4

从根式下提出各项。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

解题步骤 6.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ 。

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

解题步骤 6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

解题步骤 7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

从 ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 中分解出因数 $- 4$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

从 ${(- 4)}^{2}$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.1.2

从 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1 x$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.1.3

从 $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot - 1 x)$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (- 1 x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.3

将 $- 4 (- 4 - x)$ 重写为 $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.3.3

添加圆括号。

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 - x))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.4

从根式下提出各项。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$

解题步骤 7.3

化简 $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 - x)}}{2}$ 。

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

解题步骤 7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

解题步骤 8

最终答案为两个解的组合。

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$

解题步骤 9

交换变量。为每个表达式创建一个方程。

$x = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)}, x = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - y)}$

解题步骤 10

求解 $y$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$ 。

$2 + \sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x$

解题步骤 10.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$\sqrt{- 1 (- 4 - y)} = x - 2$

解题步骤 10.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{- 1 (- 4 - y)}}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 10.4

化简方程的两边。

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解题步骤 10.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{- 1 (- 4 - y)}$ 重写成 ${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2

化简左边。

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解题步骤 10.4.2.1

化简 ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 10.4.2.1.1

将 ${({(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(- 1 (- 4 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(- 1 (- 4 - y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.2

运用分配律。

${(- 1 \cdot - 4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

${(4 - 1 (- y))}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.4

乘以 $- 1 (- y)$ 。

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解题步骤 10.4.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

${(4 + 1 y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.4.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

${(4 + y)}^{1} = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.5

化简。

$4 + y = {(x - 2)}^{2}$

解题步骤 10.4.3

化简右边。

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解题步骤 10.4.3.1

化简 ${(x - 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 10.4.3.1.1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 重写为 $(x - 2) (x - 2)$ 。

$4 + y = (x - 2) (x - 2)$

解题步骤 10.4.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 10.4.3.1.2.1

运用分配律。

$4 + y = x (x - 2) - 2 (x - 2)$

解题步骤 10.4.3.1.2.2

运用分配律。

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)$

解题步骤 10.4.3.1.2.3

运用分配律。

$4 + y = x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

解题步骤 10.4.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 10.4.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 + y = x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2$

解题步骤 10.4.3.1.3.1.2

将 $- 2$ 移到 $x$ 的左侧。

$4 + y = x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2$

解题步骤 10.4.3.1.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$4 + y = x^{2} - 2 x - 2 x + 4$

解题步骤 10.4.3.1.3.2

从 $- 2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$4 + y = x^{2} - 4 x + 4$

解题步骤 10.5

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 10.5.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$y = x^{2} - 4 x + 4 - 4$

解题步骤 10.5.2

合并 $x^{2} - 4 x + 4 - 4$ 中相反的项。

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解题步骤 10.5.2.1

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$y = x^{2} - 4 x + 0$

解题步骤 10.5.2.2

将 $x^{2} - 4 x$ 和 $0$ 相加。

$y = x^{2} - 4 x$

解题步骤 11

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

解题步骤 12

验证 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ 是否为 $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 的反函数。

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解题步骤 12.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 和 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 12.2

求 $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 的值域。

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解题步骤 12.2.1

求 $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 的值域。

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解题步骤 12.2.1.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[2, \infty)$

解题步骤 12.2.2

求 $2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 的值域。

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解题步骤 12.2.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, 2]$

解题步骤 12.2.3

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解题步骤 12.2.3.1

并集由包含在每一区间的所有元素组成。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 12.3

求 $2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 的定义域。

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解题步骤 12.3.1

将 $\sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$- 1 (- 4 - x) \geq 0$

解题步骤 12.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 12.3.2.1

将 $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 12.3.2.1.1

将 $- 1 (- 4 - x) \geq 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- 1 (- 4 - x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 12.3.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 12.3.2.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{- 4 - x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 12.3.2.1.2.2

用 $- 4 - x$ 除以 $1$ 。

$- 4 - x \leq \frac{0}{- 1}$

解题步骤 12.3.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 12.3.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$- 4 - x \leq 0$

解题步骤 12.3.2.2

在不等式两边同时加上 $4$ 。

$- x \leq 4$

解题步骤 12.3.2.3

将 $- x \leq 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 12.3.2.3.1

将 $- x \leq 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

解题步骤 12.3.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 12.3.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

解题步骤 12.3.2.3.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{4}{- 1}$

解题步骤 12.3.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 12.3.2.3.3.1

用 $4$ 除以 $- 1$ 。

$x \geq - 4$

解题步骤 12.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[- 4, \infty)$

解题步骤 12.4

由于 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ 的定义域为 $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ 的值域又为 $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$ 为 $f (x) = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 - x)}, 2 - \sqrt{- 1 (- 4 - x)}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 4 x$

解题步骤 13

初级微积分 示例

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