初级微积分示例

$C (t) = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = 3 t^{2} + 1$ 。

$\frac{(3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(3 t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

将 $3 t^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $3 t^{2} + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 1.2.8.1

将 $6 t$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.4

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.7

从 $3 t^{2}$ 中减去 $6 t^{2}$ 。

$\frac{- 3 t^{2} + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.8

化简。

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解题步骤 1.8.1

从 $- 3 t^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 t^{2}) + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.8.2

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- (3 t^{2}) - 1 (- 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.8.3

从 $- (3 t^{2}) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.8.4

将 $- (3 t^{2} - 1)$ 重写为 $- 1 (3 t^{2} - 1)$ 。

$\frac{- 1 (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.8.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = - 1$ 且 $g (t) = \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$C'' (t) = - \frac{d}{d t} \cdot \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = 3 t^{2} - 1$ 且 $g (t) = {(3 t^{2} + 1)}^{2}$ 。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t^{2} - 1) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{({(3 t^{2} + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 ${({(3 t^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t^{2} - 1) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (3 t^{2} - 1) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $3 t^{2} - 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ 。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.3.3

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (6 t + \frac{d}{d t} (- 1)) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.3.6

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (6 t + 0) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.3.7

化简表达式。

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解题步骤 2.3.7.1

将 $6 t$ 和 $0$ 相加。

$C'' (t) = - \frac{{(3 t^{2} + 1)}^{2} (6 t) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.3.7.2

将 $6$ 移到 ${(3 t^{2} + 1)}^{2}$ 的左侧。

$C'' (t) = - \frac{6 \cdot ({(3 t^{2} + 1)}^{2} t) - (3 t^{2} - 1) \frac{d}{d t} {(3 t^{2} + 1)}^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = 3 t^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 t^{2} + 1$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - (3 t^{2} - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - (3 t^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.4.3

使用 $3 t^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - (3 t^{2} - 1) (2 (3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} (3 t^{2} + 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.5.2

根据加法法则， $3 t^{2} + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.5.3

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (3 \frac{d}{d t} (t^{2}) + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (3 (2 t) + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.5.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (6 t + \frac{d}{d t} (1)))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.5.6

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (6 t + 0))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.5.7

化简表达式。

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解题步骤 2.5.7.1

将 $6 t$ 和 $0$ 相加。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) (6 t))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.5.7.2

将 $6$ 移到 $3 t^{2} + 1$ 的左侧。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 2 (3 t^{2} - 1) (6 \cdot ((3 t^{2} + 1) t))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.5.7.3

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

解题步骤 2.5.8

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.5.9

化简表达式。

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解题步骤 2.5.9.1

将 $\frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}} + 0$

解题步骤 2.5.9.2

将 $- \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$ 和 $0$ 相加。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t - 12 (3 t^{2} - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) ((3 t^{2} + 1) t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.2

运用分配律。

$C'' (t) = - \frac{6 {(3 t^{2} + 1)}^{2} t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3

化简分子。

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解题步骤 2.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.3.1.1

将 ${(3 t^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(3 t^{2} + 1) (3 t^{2} + 1)$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 ((3 t^{2} + 1) (3 t^{2} + 1)) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 t^{2} + 1) (3 t^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.2.1

运用分配律。

$C'' (t) = - \frac{6 (3 t^{2} (3 t^{2} + 1) + 1 (3 t^{2} + 1)) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.2.2

运用分配律。

$C'' (t) = - \frac{6 (3 t^{2} (3 t^{2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2} + 1)) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.2.3

运用分配律。

$C'' (t) = - \frac{6 (3 t^{2} (3 t^{2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.6.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 t^{2} t^{2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.3.1.2.1

移动 $t^{2}$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 (t^{2} t^{2})) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 t^{2 + 2}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$C'' (t) = - \frac{6 (3 \cdot (3 t^{4}) + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} \cdot 1 + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.3.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} + 1 (3 t^{2}) + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.3.1.5

将 $3 t^{2}$ 乘以 $1$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} + 3 t^{2} + 1 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.3.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 3 t^{2} + 3 t^{2} + 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.3.2

将 $3 t^{2}$ 和 $3 t^{2}$ 相加。

$C'' (t) = - \frac{6 (9 t^{4} + 6 t^{2} + 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.4

运用分配律。

$C'' (t) = - \frac{(6 (9 t^{4}) + 6 (6 t^{2}) + 6 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.5

化简。

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解题步骤 2.6.3.1.5.1

将 $9$ 乘以 $6$ 。

$C'' (t) = - \frac{(54 t^{4} + 6 (6 t^{2}) + 6 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.5.2

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$C'' (t) = - \frac{(54 t^{4} + 36 t^{2} + 6 \cdot 1) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.5.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$C'' (t) = - \frac{(54 t^{4} + 36 t^{2} + 6) t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.6

运用分配律。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{4} t + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.7

化简。

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解题步骤 2.6.3.1.7.1

通过指数相加将 $t^{4}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.7.1.1

移动 $t$ 。

$C'' (t) = - \frac{54 (t \cdot t^{4}) + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.7.1.2

将 $t$ 乘以 $t^{4}$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.7.1.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$C'' (t) = - \frac{54 (t \cdot t^{4}) + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{1 + 4} + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.7.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{2} t + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.7.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.7.2.1

移动 $t$ 。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 (t \cdot t^{2}) + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.7.2.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.7.2.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 (t \cdot t^{2}) + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.7.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{1 + 2} + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.7.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 12 (3 t^{2}) - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.8

化简每一项。

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解题步骤 2.6.3.1.8.1

将 $3$ 乘以 $- 12$ 。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} - 12 \cdot - 1) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.8.2

将 $- 12$ 乘以 $- 1$ 。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{2} t + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 2.6.3.1.9.1

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.9.1.1

移动 $t$ 。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 (t \cdot t^{2}) + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.9.1.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.9.1.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 (t \cdot t^{2}) + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.9.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{1 + 2} + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.9.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{3} + 1 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.9.2

将 $t$ 乘以 $1$ 。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + (- 36 t^{2} + 12) (3 t^{3} + t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.10

使用 FOIL 方法展开 $(- 36 t^{2} + 12) (3 t^{3} + t)$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.10.1

运用分配律。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 t^{2} (3 t^{3} + t) + 12 (3 t^{3} + t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.10.2

运用分配律。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 t^{2} (3 t^{3}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3} + t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.10.3

运用分配律。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 t^{2} (3 t^{3}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.6.3.1.11.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.3.1.11.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 t^{2} t^{3}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.11.1.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{3}$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.11.1.2.1

移动 $t^{3}$ 。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 (t^{3} t^{2})) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.11.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 t^{3 + 2}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.11.1.2.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 36 \cdot (3 t^{5}) - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.11.1.3

将 $- 36$ 乘以 $3$ 。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{2} t + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.11.1.4

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.11.1.4.1

移动 $t$ 。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 (t \cdot t^{2}) + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.11.1.4.2

将 $t$ 乘以 $t^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.11.1.4.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 (t \cdot t^{2}) + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.11.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{1 + 2} + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.11.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{3} + 12 (3 t^{3}) + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.11.1.5

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} - 36 t^{3} + 36 t^{3} + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.11.2

将 $- 36 t^{3}$ 和 $36 t^{3}$ 相加。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} + 0 + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.11.3

将 $- 108 t^{5}$ 和 $0$ 相加。

$C'' (t) = - \frac{54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t - 108 t^{5} + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.2

从 $54 t^{5}$ 中减去 $108 t^{5}$ 。

$C'' (t) = - \frac{- 54 t^{5} + 36 t^{3} + 6 t + 12 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.3

将 $6 t$ 和 $12 t$ 相加。

$C'' (t) = - \frac{- 54 t^{5} + 36 t^{3} + 18 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4

化简分子。

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解题步骤 2.6.4.1

从 $- 54 t^{5} + 36 t^{3} + 18 t$ 中分解出因数 $18 t$ 。

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解题步骤 2.6.4.1.1

从 $- 54 t^{5}$ 中分解出因数 $18 t$ 。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4}) + 36 t^{3} + 18 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.1.2

从 $36 t^{3}$ 中分解出因数 $18 t$ 。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4}) + 18 t (2 t^{2}) + 18 t}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.1.3

从 $18 t$ 中分解出因数 $18 t$ 。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4}) + 18 t (2 t^{2}) + 18 t (1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.1.4

从 $18 t (- 3 t^{4}) + 18 t (2 t^{2})$ 中分解出因数 $18 t$ 。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4} + 2 t^{2}) + 18 t (1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.1.5

从 $18 t (- 3 t^{4} + 2 t^{2}) + 18 t (1)$ 中分解出因数 $18 t$ 。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{4} + 2 t^{2} + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.2

将 $t^{4}$ 重写为 ${(t^{2})}^{2}$ 。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 {(t^{2})}^{2} + 2 t^{2} + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.3

使 $u = t^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $t^{2}$ 。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} + 2 u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.4

分组因式分解。

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解题步骤 2.6.4.4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ 并且它们的和为 $b = 2$ 。

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解题步骤 2.6.4.4.1.1

从 $2 u$ 中分解出因数 $2$ 。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} + 2 (u) + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.4.1.2

把 $2$ 重写为 $- 1$ 加 $3$

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} + (- 1 + 3) u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.4.1.3

运用分配律。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 u^{2} - 1 u + 3 u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.6.4.4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 u^{2} - 1 u) + 3 u + 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$C'' (t) = - \frac{18 t (u (- 3 u - 1) - (- 3 u - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.4.3

通过因式分解出最大公因数 $- 3 u - 1$ 来因式分解多项式。

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 u - 1) (u - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.5

使用 $t^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 t^{2} - 1) (t^{2} - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.6

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$C'' (t) = - \frac{18 t ((- 3 t^{2} - 1) (t^{2} - 1^{2}))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.7

因数。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 3 t^{2} - 1) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.5

约去 $- 3 t^{2} - 1$ 和 ${(3 t^{2} + 1)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.5.1

从 $- 3 t^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- (3 t^{2}) - 1) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.5.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- (3 t^{2}) - 1 \cdot 1) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.5.3

从 $- (3 t^{2}) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- (3 t^{2} + 1)) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.5.4

将 $- (3 t^{2} + 1)$ 重写为 $- 1 (3 t^{2} + 1)$ 。

$C'' (t) = - \frac{18 t (- 1 (3 t^{2} + 1)) (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.5.5

从 $18 t (- 1 (3 t^{2} + 1)) (t + 1) (t - 1)$ 中分解出因数 $3 t^{2} + 1$ 。

$C'' (t) = - \frac{(3 t^{2} + 1) ((18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1))}{{(3 t^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.6.5.6

约去公因数。

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解题步骤 2.6.5.6.1

从 ${(3 t^{2} + 1)}^{4}$ 中分解出因数 $3 t^{2} + 1$ 。

$C'' (t) = - \frac{(3 t^{2} + 1) ((18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1))}{(3 t^{2} + 1) {(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.6.5.6.2

约去公因数。

$C'' (t) = - \frac{(3 t^{2} + 1) ((18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1))}{(3 t^{2} + 1) {(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.6.5.6.3

重写表达式。

$C'' (t) = - \frac{(18 t \cdot ((- 1) (t + 1))) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.6.6

将 $- 1$ 乘以 $18$ 。

$C'' (t) = - \frac{- 18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.6.7

将负号移到分数的前面。

$C'' (t) = \frac{(18 t (t + 1)) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.6.8

乘以 $- - \frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$ 。

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解题步骤 2.6.8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$C'' (t) = 1 (\frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}})$

解题步骤 2.6.8.2

将 $\frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$C'' (t) = \frac{18 t (t + 1) (t - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$\frac{(3 t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(3 t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $3 t^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 1]}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.3

根据加法法则， $3 t^{2} + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.4

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $3 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.6

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.7

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.8.1

将 $6 t$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 t^{2} + 1 - t (6 t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.8.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t \cdot t}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 (t^{1} t^{1})}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{1 + 1}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 t^{2} + 1 - 6 t^{2}}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.7

从 $3 t^{2}$ 中减去 $6 t^{2}$ 。

$\frac{- 3 t^{2} + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.8

化简。

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解题步骤 4.1.8.1

从 $- 3 t^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 t^{2}) + 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.8.2

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- (3 t^{2}) - 1 (- 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.8.3

从 $- (3 t^{2}) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.8.4

将 $- (3 t^{2} - 1)$ 重写为 $- 1 (3 t^{2} - 1)$ 。

$\frac{- 1 (3 t^{2} - 1)}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.8.5

将负号移到分数的前面。

$f' (t) = - \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

$C (t)$ 对 $t$ 的一阶导数是 $- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{3 t^{2} - 1}{{(3 t^{2} + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$3 t^{2} - 1 = 0$

解题步骤 5.3

求解 $t$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$3 t^{2} = 1$

解题步骤 5.3.2

将 $3 t^{2} = 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $3 t^{2} = 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 t^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 t^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.2.2.1.2

用 $t^{2}$ 除以 $1$ 。

$t^{2} = \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$t = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.3.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$t = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.3.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$t = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.3.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$t = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 5.3.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 5.3.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.3.4.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 5.3.4.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 5.3.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.3.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.3.4.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.3.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.4.6.4.1

约去公因数。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.4.4.6.4.2

重写表达式。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 5.3.4.4.6.5

计算指数。

$t = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 8

计算在 $t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{18 (\frac{\sqrt{3}}{3}) ((\frac{\sqrt{3}}{3}) + 1) ((\frac{\sqrt{3}}{3}) - 1)}{{(3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

组合 $18$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

对 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 9.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.4.1

约去公因数。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2.4.2

重写表达式。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{1}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2.5

计算指数。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 (\frac{3}{9}) + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 (3)} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.4.2

约去公因数。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.4.3

重写表达式。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(\frac{3}{3} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(1 + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{2^{3}}$

解题步骤 9.2.7

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\frac{18 \sqrt{3}}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

解题步骤 9.3

化简分子。

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解题步骤 9.3.1

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 9.3.1.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{18 \sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 9.3.1.1.1

从 $18 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 (6 \sqrt{3})}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

解题步骤 9.3.1.1.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 (6 \sqrt{3})}{3 (1)} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

解题步骤 9.3.1.1.3

约去公因数。

$\frac{\frac{3 (6 \sqrt{3})}{3 \cdot 1} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

解题步骤 9.3.1.1.4

重写表达式。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3}}{1} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

解题步骤 9.3.1.2

用 $6 \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\frac{6 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

解题步骤 9.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{6 \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

解题步骤 9.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

解题步骤 9.3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}{8}$

解题步骤 9.3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}{8}$

解题步骤 9.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} \frac{\sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.7

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} + 3}{3} \frac{\sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.8

合并指数。

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解题步骤 9.3.8.1

组合 $\frac{\sqrt{3} + 3}{3}$ 和 $6$ 。

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6}{3} \sqrt{3} \frac{\sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.8.2

组合 $\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6}{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.8.3

将 $\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3}}{3}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3} - 3}{3}$ 。

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3 \cdot 3}}{8}$

解题步骤 9.3.8.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{9}}{8}$

解题步骤 9.3.9

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{9}$ 。

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解题步骤 9.3.9.1

从 $(\sqrt{3} + 3) \cdot 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 ((\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3))}{9}}{8}$

解题步骤 9.3.9.2

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 ((\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3))}{3 (3)}}{8}$

解题步骤 9.3.9.3

约去公因数。

$\frac{\frac{3 ((\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3))}{3 \cdot 3}}{8}$

解题步骤 9.3.9.4

重写表达式。

$\frac{\frac{(\sqrt{3} + 3) \cdot 2 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10

化简分子。

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解题步骤 9.3.10.1

运用分配律。

$\frac{\frac{(\sqrt{3} \cdot 2 + 3 \cdot 2) \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\frac{\frac{(2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2) \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{(2 \cdot \sqrt{3} + 6) \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.4

运用分配律。

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.5

乘以 $2 \sqrt{3} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 9.3.10.5.1

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.5.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{2} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 9.3.10.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{(2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.10.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{1} + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.6.5

计算指数。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3 + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{(6 + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.8

使用 FOIL 方法展开 $(6 + 6 \sqrt{3}) (\sqrt{3} - 3)$ 。

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解题步骤 9.3.10.8.1

运用分配律。

$\frac{\frac{6 (\sqrt{3} - 3) + 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.8.2

运用分配律。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 6 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.8.3

运用分配律。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 + 6 \sqrt{3} \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.3.10.9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.3.10.9.1.1

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \sqrt{3} \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.9.1.2

乘以 $6 \sqrt{3} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 9.3.10.9.1.2.1

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.9.1.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.9.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{1 + 1} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.9.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.9.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 9.3.10.9.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.9.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.9.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.9.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.10.9.1.3.4.1

约去公因数。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.9.1.3.4.2

重写表达式。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{1} + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.9.1.3.5

计算指数。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3 + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.9.1.4

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 18 + 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.9.1.5

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\frac{6 \sqrt{3} - 18 + 18 - 18 \sqrt{3}}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.9.2

从 $6 \sqrt{3}$ 中减去 $18 \sqrt{3}$ 。

$\frac{\frac{- 18 + 18 - 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.9.3

将 $- 18$ 和 $18$ 相加。

$\frac{\frac{0 - 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.10.9.4

从 $0$ 中减去 $12 \sqrt{3}$ 。

$\frac{\frac{- 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.11

约去 $- 12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.11.1

从 $- 12 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 (- 4 \sqrt{3})}{3}}{8}$

解题步骤 9.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.11.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 (- 4 \sqrt{3})}{3 (1)}}{8}$

解题步骤 9.3.11.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{3 (- 4 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{8}$

解题步骤 9.3.11.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{- 4 \sqrt{3}}{1}}{8}$

解题步骤 9.3.11.2.4

用 $- 4 \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 9.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 9.4.1

约去 $- 4$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.1.1

从 $- 4 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- \sqrt{3})}{8}$

解题步骤 9.4.1.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- \sqrt{3})}{4 (2)}$

解题步骤 9.4.1.2.2

约去公因数。

$\frac{4 (- \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

解题步骤 9.4.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9.4.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 替换变量 $t$ 。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

解题步骤 11.2.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.2.1

对 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

解题步骤 11.2.2.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 11.2.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

解题步骤 11.2.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}) + 1}$

解题步骤 11.2.2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

解题步骤 11.2.2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.2.4.1

约去公因数。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

解题步骤 11.2.2.2.4.2

重写表达式。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

解题步骤 11.2.2.2.5

计算指数。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

解题步骤 11.2.2.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{9}) + 1}$

解题步骤 11.2.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.4.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 (3)}) + 1}$

解题步骤 11.2.2.4.2

约去公因数。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 \cdot 3}) + 1}$

解题步骤 11.2.2.4.3

重写表达式。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + 1}$

解题步骤 11.2.2.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{1 + 1}$

解题步骤 11.2.2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 11.2.3

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 11.2.3.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

解题步骤 11.2.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$C (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{6}$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ 。

$y = \frac{\sqrt{3}}{6}$

解题步骤 12

计算在 $t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{18 (- \frac{\sqrt{3}}{3}) ((- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 1) ((- \frac{\sqrt{3}}{3}) - 1)}{{(3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简分子。

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解题步骤 13.1.1

将 $- 1$ 乘以 $18$ 。

$\frac{- 18 \frac{\sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.2

组合 $- 18$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 13.2.1.1

对 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.1.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 (1 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.3

将 $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 13.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.4.4.1

约去公因数。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.4.4.2

重写表达式。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3^{1}}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.4.5

计算指数。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3^{2}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 (\frac{3}{9}) + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.6.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 (3)} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.6.2

约去公因数。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(3 \frac{3}{3 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.6.3

重写表达式。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(\frac{3}{3} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.7

用 $3$ 除以 $3$ 。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{{(1 + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{2^{3}}$

解题步骤 13.2.9

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\frac{- 18 \sqrt{3}}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

解题步骤 13.3

化简分子。

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解题步骤 13.3.1

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 13.3.1.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{- 18 \sqrt{3}}{3}$ 。

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解题步骤 13.3.1.1.1

从 $- 18 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 (- 6 \sqrt{3})}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

解题步骤 13.3.1.1.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 (- 6 \sqrt{3})}{3 (1)} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

解题步骤 13.3.1.1.3

约去公因数。

$\frac{\frac{3 (- 6 \sqrt{3})}{3 \cdot 1} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

解题步骤 13.3.1.1.4

重写表达式。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3}}{1} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

解题步骤 13.3.1.2

用 $- 6 \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\frac{- 6 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + 1) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

解题步骤 13.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- 6 \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{3}{3}) (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

解题步骤 13.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1)}{8}$

解题步骤 13.3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}{8}$

解题步骤 13.3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} (- \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}{8}$

解题步骤 13.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} \frac{- \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.7

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6 \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} + 3}{3} \frac{- \sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.8

合并指数。

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解题步骤 13.3.8.1

组合 $\frac{- \sqrt{3} + 3}{3}$ 和 $- 6$ 。

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6}{3} \sqrt{3} \frac{- \sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.8.2

组合 $\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6}{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{- \sqrt{3} - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.8.3

将 $\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3}}{3}$ 乘以 $\frac{- \sqrt{3} - 3}{3}$ 。

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3 \cdot 3}}{8}$

解题步骤 13.3.8.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{9}}{8}$

解题步骤 13.3.9

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{9}$ 。

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解题步骤 13.3.9.1

从 $(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 ((- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3))}{9}}{8}$

解题步骤 13.3.9.2

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 ((- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3))}{3 (3)}}{8}$

解题步骤 13.3.9.3

约去公因数。

$\frac{\frac{3 ((- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3))}{3 \cdot 3}}{8}$

解题步骤 13.3.9.4

重写表达式。

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} + 3) \cdot - 2 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10

化简分子。

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解题步骤 13.3.10.1

运用分配律。

$\frac{\frac{(- \sqrt{3} \cdot - 2 + 3 \cdot - 2) \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} + 3 \cdot - 2) \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} - 6) \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.4

运用分配律。

$\frac{\frac{(2 \sqrt{3} \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.5

乘以 $2 \sqrt{3} \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 13.3.10.5.1

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.5.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{(2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{(2 {\sqrt{3}}^{2} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 13.3.10.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{(2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.10.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3^{1} - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.6.5

计算指数。

$\frac{\frac{(2 \cdot 3 - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.7

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{(6 - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.8

使用 FOIL 方法展开 $(6 - 6 \sqrt{3}) (- \sqrt{3} - 3)$ 。

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解题步骤 13.3.10.8.1

运用分配律。

$\frac{\frac{6 (- \sqrt{3} - 3) - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.8.2

运用分配律。

$\frac{\frac{6 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot - 3 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3} - 3)}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.8.3

运用分配律。

$\frac{\frac{6 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot - 3 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 13.3.10.9.1

化简每一项。

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解题步骤 13.3.10.9.1.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} + 6 \cdot - 3 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9.1.2

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 - 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9.1.3

乘以 $- 6 \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 13.3.10.9.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \sqrt{3} \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9.1.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9.1.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{1 + 1} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 {\sqrt{3}}^{2} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9.1.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 13.3.10.9.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.10.9.1.4.4.1

约去公因数。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9.1.4.4.2

重写表达式。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3^{1} - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9.1.4.5

计算指数。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 6 \cdot 3 - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9.1.5

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 18 - 6 \sqrt{3} \cdot - 3}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9.1.6

将 $- 3$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{\frac{- 6 \sqrt{3} - 18 + 18 + 18 \sqrt{3}}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9.2

将 $- 6 \sqrt{3}$ 和 $18 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{\frac{- 18 + 18 + 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9.3

将 $- 18$ 和 $18$ 相加。

$\frac{\frac{0 + 12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.10.9.4

将 $0$ 和 $12 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{\frac{12 \sqrt{3}}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.11

约去 $12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.11.1

从 $12 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 (4 \sqrt{3})}{3}}{8}$

解题步骤 13.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 13.3.11.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{3 (4 \sqrt{3})}{3 (1)}}{8}$

解题步骤 13.3.11.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{3 (4 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{8}$

解题步骤 13.3.11.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{4 \sqrt{3}}{1}}{8}$

解题步骤 13.3.11.2.4

用 $4 \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\frac{4 \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 13.4

约去 $4$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.1

从 $4 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (\sqrt{3})}{8}$

解题步骤 13.4.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 13.4.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 13.4.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $t = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 替换变量 $t$ 。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{3}}{3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} + 1}$

解题步骤 15.2.2

化简分母。

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解题步骤 15.2.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.2.1.1

对 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}) + 1}$

解题步骤 15.2.2.1.2

对 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 运用乘积法则。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 1}$

解题步骤 15.2.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})) + 1}$

解题步骤 15.2.2.3

将 $\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

解题步骤 15.2.2.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 15.2.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}) + 1}$

解题步骤 15.2.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}) + 1}$

解题步骤 15.2.2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

解题步骤 15.2.2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.2.4.4.1

约去公因数。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}) + 1}$

解题步骤 15.2.2.4.4.2

重写表达式。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

解题步骤 15.2.2.4.5

计算指数。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3^{2}}) + 1}$

解题步骤 15.2.2.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{9}) + 1}$

解题步骤 15.2.2.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.2.6.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 (3)}) + 1}$

解题步骤 15.2.2.6.2

约去公因数。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{3 (\frac{3}{3 \cdot 3}) + 1}$

解题步骤 15.2.2.6.3

重写表达式。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + 1}$

解题步骤 15.2.2.7

用 $3$ 除以 $3$ 。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{1 + 1}$

解题步骤 15.2.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 15.2.3

乘以 $- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 15.2.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 15.2.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$C (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{6}$

解题步骤 15.2.4

最终答案为 $- \frac{\sqrt{3}}{6}$ 。

$y = - \frac{\sqrt{3}}{6}$

解题步骤 16

这些是 $C (t) = \frac{t}{3 t^{2} + 1}$ 的局部极值。

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{6})$ 是一个局部最大值

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{6})$ 是一个局部最小值

解题步骤 17

初级微积分 示例

初级微积分示例