初级微积分示例

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y - 37 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $37$ 。

$12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$

解题步骤 2

对 $12 x^{2} - 12 x$ 进行配方。

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解题步骤 2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 12$

$b = - 12$

$c = 0$

解题步骤 2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 12}$

解题步骤 2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $- 12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

解题步骤 2.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 12$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (12)}$

解题步骤 2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 12}$

解题步骤 2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 6}{12}$

解题步骤 2.3.2.2

约去 $- 6$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$d = \frac{6 (- 1)}{12}$

解题步骤 2.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 12}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1.1

约去 ${(- 12)}^{2}$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1.1

将 $- 12$ 重写为 $- 1 (12)$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 1 (12))}^{2}}{4 \cdot 12}$

解题步骤 2.4.2.1.1.2

对 $- 1 (12)$ 运用乘积法则。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

解题步骤 2.4.2.1.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1 \cdot 12^{2}}{4 \cdot 12}$

解题步骤 2.4.2.1.1.4

将 $12^{2}$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 12}$

解题步骤 2.4.2.1.1.5

从 $12^{2}$ 中分解出因数 $12$ 。

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{4 \cdot 12}$

解题步骤 2.4.2.1.1.6

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1.6.1

从 $4 \cdot 12$ 中分解出因数 $12$ 。

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

解题步骤 2.4.2.1.1.6.2

约去公因数。

$e = 0 - \frac{12 \cdot 12}{12 \cdot 4}$

解题步骤 2.4.2.1.1.6.3

重写表达式。

$e = 0 - \frac{12}{4}$

解题步骤 2.4.2.1.2

约去 $12$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4}$

解题步骤 2.4.2.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 (1)}$

解题步骤 2.4.2.1.2.2.2

约去公因数。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.1.2.2.3

重写表达式。

$e = 0 - \frac{3}{1}$

解题步骤 2.4.2.1.2.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 3$

解题步骤 2.4.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$e = 0 - 3$

解题步骤 2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$e = - 3$

解题步骤 2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ 。

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$

解题步骤 3

在方程 $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ 中，用 $12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3$ 代替 $12 x^{2} - 12 x$ 。

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - 3 + 20 y^{2} + 40 y = 37$

解题步骤 4

通过在等式两边同时加上 $3$ 的方法来将 $- 3$ 移到等式右边。

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 y^{2} + 40 y = 37 + 3$

解题步骤 5

对 $20 y^{2} + 40 y$ 进行配方。

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解题步骤 5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 20$

$b = 40$

$c = 0$

解题步骤 5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{40}{2 \cdot 20}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $40$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

从 $40$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 20$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 (20)}$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 20}{2 \cdot 20}$

解题步骤 5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{20}{20}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $20$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$d = \frac{20}{20}$

解题步骤 5.3.2.2.2

重写表达式。

$d = 1$

解题步骤 5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{40^{2}}{4 \cdot 20}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

对 $40$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1600}{4 \cdot 20}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $20$ 。

$e = 0 - \frac{1600}{80}$

解题步骤 5.4.2.1.3

用 $1600$ 除以 $80$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 20$

解题步骤 5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $20$ 。

$e = 0 - 20$

解题步骤 5.4.2.2

从 $0$ 中减去 $20$ 。

$e = - 20$

解题步骤 5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ 。

$20 {(y + 1)}^{2} - 20$

解题步骤 6

在方程 $12 x^{2} + 20 y^{2} - 12 x + 40 y = 37$ 中，用 $20 {(y + 1)}^{2} - 20$ 代替 $20 y^{2} + 40 y$ 。

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} - 20 = 37 + 3$

解题步骤 7

通过在等式两边同时加上 $20$ 的方法来将 $- 20$ 移到等式右边。

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 37 + 3 + 20$

解题步骤 8

化简 $37 + 3 + 20$ 。

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解题步骤 8.1

将 $37$ 和 $3$ 相加。

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 40 + 20$

解题步骤 8.2

将 $40$ 和 $20$ 相加。

$12 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20 {(y + 1)}^{2} = 60$

解题步骤 9

将每一项除以 $60$ 以使方程右边等于一。

$\frac{12 {(x - \frac{1}{2})}^{2}}{60} + \frac{20 {(y + 1)}^{2}}{60} = \frac{60}{60}$

解题步骤 10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x - \frac{1}{2})}^{2}}{5} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{3} = 1$

解题步骤 11

这是椭圆的形式。使用此形式可确定用于求椭圆中点以及长轴和短轴的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 12

将该椭圆中的值匹配至标准形式的值。变量 $a$ 表示椭圆长轴的半径， $b$ 表示椭圆短轴的半径， $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量。

$a = \sqrt{5}$

$b = \sqrt{3}$

$k = - 1$

$h = \frac{1}{2}$

解题步骤 13

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

解题步骤 14

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简分子。

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解题步骤 15.1.1

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 15.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 15.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{5^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 15.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 15.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{5^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 15.1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{5^{1} - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 15.1.1.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{5 - {\sqrt{3}}^{2}}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 15.1.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 15.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{5 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 15.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 15.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 15.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.1.2.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{5 - 3^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 15.1.2.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{5 - 3^{1}}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 15.1.2.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{5 - 1 \cdot 3}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 15.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{5 - 3}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 15.1.4

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 15.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 15.3

合并和化简分母。

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解题步骤 15.3.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 15.3.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

解题步骤 15.3.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

解题步骤 15.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 15.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 15.3.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 15.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 15.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 15.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 15.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 15.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

解题步骤 15.3.6.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 15.4

化简分子。

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解题步骤 15.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

解题步骤 15.4.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

小数形式：

$0.63245553 \dots$

解题步骤 17

初级微积分 示例

初级微积分示例