初级微积分示例

$x^{4} + 7 x^{3} + 3 x^{2} - 63 x - 108$

解题步骤 1

将 $x^{4} + 7 x^{3} + 3 x^{2} - 63 x - 108$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} + 7 x^{3} + 3 x^{2} - 63 x - 108 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$7 x^{3} - 63 x + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $7 x^{3} - 63 x$ 中分解出因数 $7 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $7 x^{3}$ 中分解出因数 $7 x$ 。

$7 x (x^{2}) - 63 x + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从 $- 63 x$ 中分解出因数 $7 x$ 。

$7 x (x^{2}) + 7 x (- 9) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $7 x (x^{2}) + 7 x (- 9)$ 中分解出因数 $7 x$ 。

$7 x (x^{2} - 9) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$7 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

解题步骤 2.1.4

因数。

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解题步骤 2.1.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$7 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

解题步骤 2.1.4.2

去掉多余的括号。

$7 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 108 = 0$

解题步骤 2.1.5

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$7 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 108 = 0$

解题步骤 2.1.6

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$7 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} + 3 u - 108 = 0$

解题步骤 2.1.7

使用 AC 法来对 $u^{2} + 3 u - 108$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.7.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 108$ ，和为 $3$ 。

$- 9, 12$

解题步骤 2.1.7.2

使用这些整数书写分数形式。

$7 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u + 12) = 0$

解题步骤 2.1.8

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$7 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} + 12) = 0$

解题步骤 2.1.9

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$7 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} + 12) = 0$

解题步骤 2.1.10

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$7 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 12) = 0$

解题步骤 2.1.11

从 $7 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 12)$ 中分解出因数 $(x + 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 2.1.11.1

从 $7 x (x + 3) (x - 3)$ 中分解出因数 $(x + 3) (x - 3)$ 。

$(x + 3) (x - 3) (7 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 12) = 0$

解题步骤 2.1.11.2

从 $(x + 3) (x - 3) (7 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} + 12)$ 中分解出因数 $(x + 3) (x - 3)$ 。

$(x + 3) (x - 3) (7 x + x^{2} + 12) = 0$

解题步骤 2.1.12

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x + 3) (x - 3) (7 u + u^{2} + 12) = 0$

解题步骤 2.1.13

使用 AC 法来对 $7 u + u^{2} + 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.13.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $12$ ，和为 $7$ 。

$3, 4$

解题步骤 2.1.13.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 3) (x - 3) ((u + 3) (u + 4)) = 0$

解题步骤 2.1.14

因数。

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解题步骤 2.1.14.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x + 3) (x - 3) ((x + 3) (x + 4)) = 0$

解题步骤 2.1.14.2

去掉多余的括号。

$(x + 3) (x - 3) (x + 3) (x + 4) = 0$

解题步骤 2.1.15

合并指数。

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解题步骤 2.1.15.1

对 $x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 3) (x + 3) (x - 3) (x + 4) = 0$

解题步骤 2.1.15.2

对 $x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 3) (x + 3) (x - 3) (x + 4) = 0$

解题步骤 2.1.15.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(x + 3)}^{1 + 1} (x - 3) (x + 4) = 0$

解题步骤 2.1.15.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(x + 3)}^{2} (x - 3) (x + 4) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 3)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 2.3

将 ${(x + 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 ${(x + 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 3)}^{2} = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x + 3)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.3.2.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2.4

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.5

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 2.6

最终解为使 ${(x + 3)}^{2} (x - 3) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 3, 3, - 4$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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