初级微积分示例

$\tan (θ) = - 2 \sin (θ)$

解题步骤 1

将 $\tan (θ) = - 2 \sin (θ)$ 中的每一项除以 $\tan (θ)$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $\tan (θ) = - 2 \sin (θ)$ 中的每一项都除以 $\tan (θ)$ 。

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{- 2 \sin (θ)}{\tan (θ)}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $\tan (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\tan (θ)}{\tan (θ)} = \frac{- 2 \sin (θ)}{\tan (θ)}$

解题步骤 1.2.1.2

重写表达式。

$1 = \frac{- 2 \sin (θ)}{\tan (θ)}$

解题步骤 1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1

分离分数。

$1 = \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\tan (θ)}$

解题步骤 1.3.2

将 $\tan (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 = \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\sin (θ)}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

解题步骤 1.3.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 。

$1 = \frac{- 2}{1} (\sin (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 1.3.4

将 $\sin (θ)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$1 = \frac{- 2}{1} (\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 1.3.5

约去 $\sin (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.1

约去公因数。

$1 = \frac{- 2}{1} (\frac{\sin (θ)}{1} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

解题步骤 1.3.5.2

重写表达式。

$1 = \frac{- 2}{1} \cos (θ)$

解题步骤 1.3.6

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$1 = - 2 \cos (θ)$

解题步骤 2

将方程重写为 $- 2 \cos (θ) = 1$ 。

$- 2 \cos (θ) = 1$

解题步骤 3

将 $- 2 \cos (θ) = 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $- 2 \cos (θ) = 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \cos (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \cos (θ)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $\cos (θ)$ 除以 $1$ 。

$\cos (θ) = \frac{1}{- 2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$θ = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 6

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7

化简 $2 π - \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 7.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.2.2

在公分母上合并分子。

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 7.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 7.3.2

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$θ = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 8

求 $\cos (θ)$ 的周期。

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解题步骤 8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 8.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 9

$\cos (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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