初级微积分示例

$x^{3} - 1000 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $1000$ 重写为 $10^{3}$ 。

$x^{3} - 10^{3} = 0$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 10$ 。

$(x - 10) (x^{2} + x \cdot 10 + 10^{2}) = 0$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $10$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x - 10) (x^{2} + 10 x + 10^{2}) = 0$

解题步骤 1.3.2

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$(x - 10) (x^{2} + 10 x + 100) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 10 = 0$

$x^{2} + 10 x + 100 = 0$

解题步骤 3

将 $x - 10$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x - 10$ 设为等于 $0$ 。

$x - 10 = 0$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $10$ 。

$x = 10$

解题步骤 4

将 $x^{2} + 10 x + 100$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x^{2} + 10 x + 100$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 10 x + 100 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 10 x + 100 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 10$ 和 $c = 100$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 100)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3

化简。

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解题步骤 4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 100$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $100$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.3

从 $100$ 中减去 $400$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.4

将 $- 300$ 重写为 $- 1 (300)$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (300)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.7

将 $300$ 重写为 $10^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.7.1

从 $300$ 中分解出因数 $100$ 。

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.7.2

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.9

将 $10$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.3.3

化简 $\frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 5 \pm 5 i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 4.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.4.1.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 100$ 。

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解题步骤 4.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $100$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.1.3

从 $100$ 中减去 $400$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.1.4

将 $- 300$ 重写为 $- 1 (300)$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (300)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.1.7

将 $300$ 重写为 $10^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.2.4.1.7.1

从 $300$ 中分解出因数 $100$ 。

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.1.7.2

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.1.9

将 $10$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.4.3

化简 $\frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 5 \pm 5 i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = - 5 + 5 i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 4.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.5.1.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 100$ 。

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解题步骤 4.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $100$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 400}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.1.3

从 $100$ 中减去 $400$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 300}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.1.4

将 $- 300$ 重写为 $- 1 (300)$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 300}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (300)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}$ 。

$x = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{300}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.1.7

将 $300$ 重写为 $10^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.2.5.1.7.1

从 $300$ 中分解出因数 $100$ 。

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{100 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.1.7.2

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{10^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 10 \pm i \cdot (10 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.1.9

将 $10$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.5.3

化简 $\frac{- 10 \pm 10 i \sqrt{3}}{2}$ 。

$x = - 5 \pm 5 i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = - 5 - 5 i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - 5 + 5 i \sqrt{3}, - 5 - 5 i \sqrt{3}$

解题步骤 5

最终解为使 $(x - 10) (x^{2} + 10 x + 100) = 0$ 成立的所有值。

$x = 10, - 5 + 5 i \sqrt{3}, - 5 - 5 i \sqrt{3}$

初级微积分 示例

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