初级微积分示例

$\cos (\arccos (x) + \arcsin (x))$

解题步骤 1

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$\cos (\arccos (x)) \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

余弦函数和反余弦函数互为反函数。

$x \cos (\arcsin (x)) - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 2.1.2

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (x))$ 为 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

$x \sqrt{1 - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 2.1.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x \sqrt{1^{2} - x^{2}} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 2.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sin (\arccos (x)) \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 2.1.5

在平面中画出顶点为 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arccos (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (\arccos (x))$ 为 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 2.1.6

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 2.1.7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 2.1.8

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$

解题步骤 2.2

合并 $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.1

按照 $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 和 $- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} x$ 重新排列因数。

$x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 2.2.2

从 $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 中减去 $x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 。

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