初级微积分示例

$1$ , $\frac{1}{4}$ , $\frac{1}{16}$ , $\frac{1}{64}$ , $\frac{1}{256}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以 $\frac{1}{4}$ 即得到数列的下一项。亦即 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列： $r = \frac{1}{4}$

解题步骤 2

这是等比数列的形式。

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

解题步骤 3

代入 $a_{1} = 1$ 和 $r = \frac{1}{4}$ 的值。

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

解题步骤 4

将 ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ 乘以 $1$ 。

$a_{n} = {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

解题步骤 5

对 $\frac{1}{4}$ 运用乘积法则。

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

解题步骤 6

一的任意次幂都为一。

$a_{n} = \frac{1}{4^{n - 1}}$

解题步骤 7

这是求等比数列的前 $n$ 项之和的公式。要进行计算，求出 $r$ 和 $a_{1}$ 的值。

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

解题步骤 8

使用已知值替换变量以求 $S_{5}$ 。

$S_{5} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

解题步骤 9

将 $\frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$ 乘以 $1$ 。

$S_{5} = \frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

解题步骤 10

将分数的分子和分母乘以 $4$ 。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$S_{5} = \frac{4}{4} \cdot \frac{{(\frac{1}{4})}^{5} - 1}{\frac{1}{4} - 1}$

解题步骤 10.2

合并。

$S_{5} = \frac{4 ({(\frac{1}{4})}^{5} - 1)}{4 (\frac{1}{4} - 1)}$

解题步骤 11

运用分配律。

$S_{5} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{5} + 4 \cdot - 1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 \cdot - 1}$

解题步骤 12

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.1

约去公因数。

$S_{5} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{5} + 4 \cdot - 1}{4 (\frac{1}{4}) + 4 \cdot - 1}$

解题步骤 12.2

重写表达式。

$S_{5} = \frac{4 {(\frac{1}{4})}^{5} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

解题步骤 13

化简分子。

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解题步骤 13.1

对 $\frac{1}{4}$ 运用乘积法则。

$S_{5} = \frac{4 (\frac{1^{5}}{4^{5}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

解题步骤 13.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

从 $4^{5}$ 中分解出因数 $4$ 。

$S_{5} = \frac{4 (\frac{1^{5}}{4 \cdot 4^{4}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

解题步骤 13.2.2

约去公因数。

$S_{5} = \frac{4 (\frac{1^{5}}{4 \cdot 4^{4}}) + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

解题步骤 13.2.3

重写表达式。

$S_{5} = \frac{\frac{1^{5}}{4^{4}} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

解题步骤 13.3

一的任意次幂都为一。

$S_{5} = \frac{\frac{1}{4^{4}} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

解题步骤 13.4

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} + 4 \cdot - 1}{1 + 4 \cdot - 1}$

解题步骤 13.5

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} - 4}{1 + 4 \cdot - 1}$

解题步骤 13.6

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{256}{256}$ 。

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} - 4 \cdot \frac{256}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

解题步骤 13.7

组合 $- 4$ 和 $\frac{256}{256}$ 。

$S_{5} = \frac{\frac{1}{256} + \frac{- 4 \cdot 256}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

解题步骤 13.8

在公分母上合并分子。

$S_{5} = \frac{\frac{1 - 4 \cdot 256}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

解题步骤 13.9

化简分子。

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解题步骤 13.9.1

将 $- 4$ 乘以 $256$ 。

$S_{5} = \frac{\frac{1 - 1024}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

解题步骤 13.9.2

从 $1$ 中减去 $1024$ 。

$S_{5} = \frac{\frac{- 1023}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

解题步骤 13.10

将负号移到分数的前面。

$S_{5} = \frac{- \frac{1023}{256}}{1 + 4 \cdot - 1}$

解题步骤 14

化简分母。

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解题步骤 14.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$S_{5} = \frac{- \frac{1023}{256}}{1 - 4}$

解题步骤 14.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$S_{5} = \frac{- \frac{1023}{256}}{- 3}$

解题步骤 15

将分子乘以分母的倒数。

$S_{5} = - \frac{1023}{256} \cdot \frac{1}{- 3}$

解题步骤 16

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 16.1

将 $- \frac{1023}{256}$ 中前置负号移到分子中。

$S_{5} = \frac{- 1023}{256} \cdot \frac{1}{- 3}$

解题步骤 16.2

从 $- 1023$ 中分解出因数 $3$ 。

$S_{5} = \frac{3 (- 341)}{256} \cdot \frac{1}{- 3}$

解题步骤 16.3

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$S_{5} = \frac{3 \cdot - 341}{256} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

解题步骤 16.4

约去公因数。

$S_{5} = \frac{3 \cdot - 341}{256} \cdot \frac{1}{3 \cdot - 1}$

解题步骤 16.5

重写表达式。

$S_{5} = \frac{- 341}{256} \cdot \frac{1}{- 1}$

解题步骤 17

将 $\frac{- 341}{256}$ 乘以 $\frac{1}{- 1}$ 。

$S_{5} = \frac{- 341}{256 \cdot - 1}$

解题步骤 18

将 $256$ 乘以 $- 1$ 。

$S_{5} = \frac{- 341}{- 256}$

解题步骤 19

将两个负数相除得到一个正数。

$S_{5} = \frac{341}{256}$

初级微积分 示例

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