初级微积分示例

$\sin (\frac{π}{12}) = \frac{1}{2} \sqrt{A - \sqrt{B}}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}} = \sin (\frac{π}{12})$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}} = \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 2

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}}) = 2 \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

化简左边。

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解题步骤 3.1.1

化简 $2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{A - \sqrt{B}})$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{A - \sqrt{B}}$ 。

$2 \frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} = 2 \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.2.1

约去公因数。

$2 \frac{\sqrt{A - \sqrt{B}}}{2} = 2 \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 3.1.1.2.2

重写表达式。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 \sin (\frac{π}{12})$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

化简 $2 \sin (\frac{π}{12})$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

$\sin (\frac{π}{12})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.1

将 $\frac{π}{12}$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

解题步骤 3.2.1.1.2

应用角度恒等式的差。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 3.2.1.1.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 3.2.1.1.4

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 3.2.1.1.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 3.2.1.1.6

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.1.1.7

化简 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1.7.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.7.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.1.1.7.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.1.1.7.1.1.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.1.1.7.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.1.1.7.1.2

乘以 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.7.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

解题步骤 3.2.1.1.7.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

解题步骤 3.2.1.1.7.2

在公分母上合并分子。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 3.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 (2)}$

解题步骤 3.2.1.2.2

约去公因数。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = 2 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.2.1.2.3

重写表达式。

$\sqrt{A - \sqrt{B}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{A - \sqrt{B}}}^{2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{A - \sqrt{B}}$ 重写成 ${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 ${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

将 ${({(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(A - \sqrt{B})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(A - \sqrt{B})}^{1} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

化简。

$A - \sqrt{B} = {(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

化简 ${(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1.1.1

对 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ 运用乘积法则。

$A - \sqrt{B} = \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 5.3.1.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$A - \sqrt{B} = \frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4}$

解题步骤 5.3.1.1.3

将 ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ 重写为 $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

运用分配律。

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.2.2

运用分配律。

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.2.3

运用分配律。

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.3.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.2

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.3

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.5

乘以 $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.5.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.6

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.6.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.6.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.7

从根式下提出各项。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.9

乘以 $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.9.1

使用根数乘积法则进行合并。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.9.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.10

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.10.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.10.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.11

从根式下提出各项。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.12

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.13

乘以 $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.13.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.13.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.13.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.13.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.13.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.13.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.14

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.14.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.3.1.14.4.1

约去公因数。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.14.4.2

重写表达式。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.1.14.5

计算指数。

$A - \sqrt{B} = \frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.2

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$A - \sqrt{B} = \frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 5.3.1.3.3

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中减去 $2 \sqrt{3}$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{8 - 4 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 5.3.1.4

约去 $8 - 4 \sqrt{3}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{4 \cdot 2 - 4 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 5.3.1.4.2

从 $- 4 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{4 \cdot 2 + 4 (- \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 5.3.1.4.3

从 $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ 中分解出因数 $4$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 5.3.1.4.4

约去公因数。

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解题步骤 5.3.1.4.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 (1)}$

解题步骤 5.3.1.4.4.2

约去公因数。

$A - \sqrt{B} = \frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.1.4.4.3

重写表达式。

$A - \sqrt{B} = \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

解题步骤 5.3.1.4.4.4

用 $2 - \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$A - \sqrt{B} = 2 - \sqrt{3}$

解题步骤 6

在等式两边都加上 $\sqrt{B}$ 。

$A = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{B}$

初级微积分 示例

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