初级微积分示例

$\sqrt{1 - k} - \sqrt{3 k + 1} = - 2$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $\sqrt{3 k + 1}$ 。

$\sqrt{1 - k} = - 2 + \sqrt{3 k + 1}$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{1 - k}}^{2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - k}$ 重写成 ${(1 - k)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(1 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${({(1 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${({(1 - k)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 - k)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(1 - k)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(1 - k)}^{1} = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

化简。

$1 - k = {(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${(- 2 + \sqrt{3 k + 1})}^{2}$ 重写为 $(- 2 + \sqrt{3 k + 1}) (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$ 。

$1 - k = (- 2 + \sqrt{3 k + 1}) (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$

解题步骤 3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 + \sqrt{3 k + 1}) (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

运用分配律。

$1 - k = - 2 (- 2 + \sqrt{3 k + 1}) + \sqrt{3 k + 1} (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$

解题步骤 3.3.1.2.2

运用分配律。

$1 - k = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} (- 2 + \sqrt{3 k + 1})$

解题步骤 3.3.1.2.3

运用分配律。

$1 - k = - 2 \cdot - 2 - 2 \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} \cdot - 2 + \sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$

解题步骤 3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.3.1.1

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} \cdot - 2 + \sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.2

将 $- 2$ 移到 $\sqrt{3 k + 1}$ 的左侧。

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \cdot \sqrt{3 k + 1} + \sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.3

乘以 $\sqrt{3 k + 1} \sqrt{3 k + 1}$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.3.1

对 $\sqrt{3 k + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{1} \sqrt{3 k + 1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.3.2

对 $\sqrt{3 k + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{1} {\sqrt{3 k + 1}}^{1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{1 + 1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {\sqrt{3 k + 1}}^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4

将 ${\sqrt{3 k + 1}}^{2}$ 重写为 $3 k + 1$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 k + 1}$ 重写成 ${(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.3.1.4.4.1

约去公因数。

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.4.2

重写表达式。

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + {(3 k + 1)}^{1}$

解题步骤 3.3.1.3.1.4.5

化简。

$1 - k = 4 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + 3 k + 1$

解题步骤 3.3.1.3.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$1 - k = 5 - 2 \sqrt{3 k + 1} - 2 \sqrt{3 k + 1} + 3 k$

解题步骤 3.3.1.3.3

从 $- 2 \sqrt{3 k + 1}$ 中减去 $2 \sqrt{3 k + 1}$ 。

$1 - k = 5 - 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k$

解题步骤 4

求解 $- 4 \sqrt{3 k + 1}$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $5 - 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k = 1 - k$ 。

$5 - 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k = 1 - k$

解题步骤 4.2

将所有不包含 $- 4 \sqrt{3 k + 1}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- 4 \sqrt{3 k + 1} + 3 k = 1 - k - 5$

解题步骤 4.2.2

从等式两边同时减去 $3 k$ 。

$- 4 \sqrt{3 k + 1} = 1 - k - 5 - 3 k$

解题步骤 4.2.3

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$- 4 \sqrt{3 k + 1} = - k - 4 - 3 k$

解题步骤 4.2.4

从 $- k$ 中减去 $3 k$ 。

$- 4 \sqrt{3 k + 1} = - 4 k - 4$

解题步骤 5

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- 4 \sqrt{3 k + 1})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

解题步骤 6

化简方程的两边。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 k + 1}$ 重写成 ${(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- 4 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

化简 ${(- 4 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 4 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 4)}^{2} {({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 {({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

将 ${({(3 k + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.3.2.1

约去公因数。

$16 {(3 k + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3.2.2

重写表达式。

$16 {(3 k + 1)}^{1} = {(- 4 k - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.4

化简。

$16 (3 k + 1) = {(- 4 k - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.5

运用分配律。

$16 (3 k) + 16 \cdot 1 = {(- 4 k - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.6

乘。

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解题步骤 6.2.1.6.1

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$48 k + 16 \cdot 1 = {(- 4 k - 4)}^{2}$

解题步骤 6.2.1.6.2

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$48 k + 16 = {(- 4 k - 4)}^{2}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简 ${(- 4 k - 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.1.1

将 ${(- 4 k - 4)}^{2}$ 重写为 $(- 4 k - 4) (- 4 k - 4)$ 。

$48 k + 16 = (- 4 k - 4) (- 4 k - 4)$

解题步骤 6.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 4 k - 4) (- 4 k - 4)$ 。

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解题步骤 6.3.1.2.1

运用分配律。

$48 k + 16 = - 4 k (- 4 k - 4) - 4 (- 4 k - 4)$

解题步骤 6.3.1.2.2

运用分配律。

$48 k + 16 = - 4 k (- 4 k) - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k - 4)$

解题步骤 6.3.1.2.3

运用分配律。

$48 k + 16 = - 4 k (- 4 k) - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

解题步骤 6.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$48 k + 16 = - 4 \cdot - 4 k \cdot k - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

解题步骤 6.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $k$ 乘以 $k$ 。

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解题步骤 6.3.1.3.1.2.1

移动 $k$ 。

$48 k + 16 = - 4 \cdot - 4 (k \cdot k) - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

解题步骤 6.3.1.3.1.2.2

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$48 k + 16 = - 4 \cdot - 4 k^{2} - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

解题步骤 6.3.1.3.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$48 k + 16 = 16 k^{2} - 4 k \cdot - 4 - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

解题步骤 6.3.1.3.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 16 k - 4 (- 4 k) - 4 \cdot - 4$

解题步骤 6.3.1.3.1.5

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 16 k + 16 k - 4 \cdot - 4$

解题步骤 6.3.1.3.1.6

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 16 k + 16 k + 16$

解题步骤 6.3.1.3.2

将 $16 k$ 和 $16 k$ 相加。

$48 k + 16 = 16 k^{2} + 32 k + 16$

解题步骤 7

求解 $k$ 。

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解题步骤 7.1

因为 $k$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$16 k^{2} + 32 k + 16 = 48 k + 16$

解题步骤 7.2

将所有包含 $k$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $48 k$ 。

$16 k^{2} + 32 k + 16 - 48 k = 16$

解题步骤 7.2.2

从 $32 k$ 中减去 $48 k$ 。

$16 k^{2} - 16 k + 16 = 16$

解题步骤 7.3

从等式两边同时减去 $16$ 。

$16 k^{2} - 16 k + 16 - 16 = 0$

解题步骤 7.4

合并 $16 k^{2} - 16 k + 16 - 16$ 中相反的项。

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解题步骤 7.4.1

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$16 k^{2} - 16 k + 0 = 0$

解题步骤 7.4.2

将 $16 k^{2} - 16 k$ 和 $0$ 相加。

$16 k^{2} - 16 k = 0$

解题步骤 7.5

从 $16 k^{2} - 16 k$ 中分解出因数 $16 k$ 。

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解题步骤 7.5.1

从 $16 k^{2}$ 中分解出因数 $16 k$ 。

$16 k (k) - 16 k = 0$

解题步骤 7.5.2

从 $- 16 k$ 中分解出因数 $16 k$ 。

$16 k (k) + 16 k (- 1) = 0$

解题步骤 7.5.3

从 $16 k (k) + 16 k (- 1)$ 中分解出因数 $16 k$ 。

$16 k (k - 1) = 0$

解题步骤 7.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$k = 0$

$k - 1 = 0$

解题步骤 7.7

将 $k$ 设为等于 $0$ 。

$k = 0$

解题步骤 7.8

将 $k - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $k$ 。

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解题步骤 7.8.1

将 $k - 1$ 设为等于 $0$ 。

$k - 1 = 0$

解题步骤 7.8.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$k = 1$

解题步骤 7.9

最终解为使 $16 k (k - 1) = 0$ 成立的所有值。

$k = 0, 1$

解题步骤 8

排除不能使 $\sqrt{1 - k} - \sqrt{3 k + 1} = - 2$ 成立的解。

$k = 1$

初级微积分 示例

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