初级微积分示例

$\ln (3 y + 5) - \ln (y - 1) = \ln (- 4 y + 10)$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{3 y + 5}{y - 1}) = \ln (- 4 y + 10)$

解题步骤 2

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y - 1, 1, 1$

解题步骤 3.1.2

去掉圆括号。

$y - 1, 1, 1$

解题步骤 3.1.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y - 1$

解题步骤 3.2

将 $\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ 中的每一项乘以 $y - 1$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{3 y + 5}{y - 1} = - 4 y + 10$ 中的每一项乘以 $y - 1$ 。

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y + 5}{y - 1} (y - 1) = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

解题步骤 3.2.2.1.2

重写表达式。

$3 y + 5 = - 4 y (y - 1) + 10 (y - 1)$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.1

运用分配律。

$3 y + 5 = - 4 y \cdot y - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

解题步骤 3.2.3.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.2.3.1.2.1

移动 $y$ 。

$3 y + 5 = - 4 (y \cdot y) - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

解题步骤 3.2.3.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$3 y + 5 = - 4 y^{2} - 4 y \cdot - 1 + 10 (y - 1)$

解题步骤 3.2.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 (y - 1)$

解题步骤 3.2.3.1.4

运用分配律。

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y + 10 \cdot - 1$

解题步骤 3.2.3.1.5

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 4 y + 10 y - 10$

解题步骤 3.2.3.2

将 $4 y$ 和 $10 y$ 相加。

$3 y + 5 = - 4 y^{2} + 14 y - 10$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 = 3 y + 5$

解题步骤 3.3.2

将所有包含 $y$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去 $3 y$ 。

$- 4 y^{2} + 14 y - 10 - 3 y = 5$

解题步骤 3.3.2.2

从 $14 y$ 中减去 $3 y$ 。

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 = 5$

解题步骤 3.3.3

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- 4 y^{2} + 11 y - 10 - 5 = 0$

解题步骤 3.3.3.2

从 $- 10$ 中减去 $5$ 。

$- 4 y^{2} + 11 y - 15 = 0$

解题步骤 3.3.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.3.5

将 $a = - 4$ 、 $b = 11$ 和 $c = - 15$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot - 15)}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 3.3.6

化简。

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解题步骤 3.3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.6.1.1

对 $11$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 3.3.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 4 \cdot - 15$ 。

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解题步骤 3.3.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 + 16 \cdot - 15}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 3.3.6.1.2.2

将 $16$ 乘以 $- 15$ 。

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 240}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 3.3.6.1.3

从 $121$ 中减去 $240$ 。

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 119}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 3.3.6.1.4

将 $- 119$ 重写为 $- 1 (119)$ 。

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1 \cdot 119}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 3.3.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (119)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}$ 。

$y = \frac{- 11 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 3.3.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 3.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$

解题步骤 3.3.6.3

化简 $\frac{- 11 \pm i \sqrt{119}}{- 8}$ 。

$y = \frac{11 \pm i \sqrt{119}}{8}$

解题步骤 3.3.7

最终答案为两个解的组合。

$y = \frac{11 + i \sqrt{119}}{8}, \frac{11 - i \sqrt{119}}{8}$

初级微积分 示例

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