初级微积分示例

$\sqrt{7 y^{2} + 15 y} - 2 y = 5 + y$

解题步骤 1

将所有不包含 $\sqrt{7 y^{2} + 15 y}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $2 y$ 。

$\sqrt{7 y^{2} + 15 y} = 5 + y + 2 y$

解题步骤 1.2

将 $y$ 和 $2 y$ 相加。

$\sqrt{7 y^{2} + 15 y} = 5 + 3 y$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{7 y^{2} + 15 y}}^{2} = {(5 + 3 y)}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7 y^{2} + 15 y}$ 重写成 ${(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 + 3 y)}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${({(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${({(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 + 3 y)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(7 y^{2} + 15 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 + 3 y)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(7 y^{2} + 15 y)}^{1} = {(5 + 3 y)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

化简。

$7 y^{2} + 15 y = {(5 + 3 y)}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(5 + 3 y)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${(5 + 3 y)}^{2}$ 重写为 $(5 + 3 y) (5 + 3 y)$ 。

$7 y^{2} + 15 y = (5 + 3 y) (5 + 3 y)$

解题步骤 3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(5 + 3 y) (5 + 3 y)$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

运用分配律。

$7 y^{2} + 15 y = 5 (5 + 3 y) + 3 y (5 + 3 y)$

解题步骤 3.3.1.2.2

运用分配律。

$7 y^{2} + 15 y = 5 \cdot 5 + 5 (3 y) + 3 y (5 + 3 y)$

解题步骤 3.3.1.2.3

运用分配律。

$7 y^{2} + 15 y = 5 \cdot 5 + 5 (3 y) + 3 y \cdot 5 + 3 y (3 y)$

解题步骤 3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.3.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 5 (3 y) + 3 y \cdot 5 + 3 y (3 y)$

解题步骤 3.3.1.3.1.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 3 y \cdot 5 + 3 y (3 y)$

解题步骤 3.3.1.3.1.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 15 y + 3 y (3 y)$

解题步骤 3.3.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 15 y + 3 \cdot 3 y \cdot y$

解题步骤 3.3.1.3.1.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.5.1

移动 $y$ 。

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 15 y + 3 \cdot 3 (y \cdot y)$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 15 y + 3 \cdot 3 y^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 15 y + 15 y + 9 y^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.2

将 $15 y$ 和 $15 y$ 相加。

$7 y^{2} + 15 y = 25 + 30 y + 9 y^{2}$

解题步骤 4

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1

将所有包含 $y$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.1.1

从等式两边同时减去 $30 y$ 。

$7 y^{2} + 15 y - 30 y = 25 + 9 y^{2}$

解题步骤 4.1.2

从等式两边同时减去 $9 y^{2}$ 。

$7 y^{2} + 15 y - 30 y - 9 y^{2} = 25$

解题步骤 4.1.3

从 $7 y^{2}$ 中减去 $9 y^{2}$ 。

$- 2 y^{2} + 15 y - 30 y = 25$

解题步骤 4.1.4

从 $15 y$ 中减去 $30 y$ 。

$- 2 y^{2} - 15 y = 25$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $25$ 。

$- 2 y^{2} - 15 y - 25 = 0$

解题步骤 4.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.3.1

从 $- 2 y^{2} - 15 y - 25$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

从 $- 2 y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (2 y^{2}) - 15 y - 25 = 0$

解题步骤 4.3.1.2

从 $- 15 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (2 y^{2}) - (15 y) - 25 = 0$

解题步骤 4.3.1.3

将 $- 25$ 重写为 $- 1 (25)$ 。

$- (2 y^{2}) - (15 y) - 1 \cdot 25 = 0$

解题步骤 4.3.1.4

从 $- (2 y^{2}) - (15 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (2 y^{2} + 15 y) - 1 \cdot 25 = 0$

解题步骤 4.3.1.5

从 $- (2 y^{2} + 15 y) - 1 (25)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (2 y^{2} + 15 y + 25) = 0$

解题步骤 4.3.2

因数。

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解题步骤 4.3.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 4.3.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ 并且它们的和为 $b = 15$ 。

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解题步骤 4.3.2.1.1.1

从 $15 y$ 中分解出因数 $15$ 。

$- (2 y^{2} + 15 (y) + 25) = 0$

解题步骤 4.3.2.1.1.2

把 $15$ 重写为 $5$ 加 $10$

$- (2 y^{2} + (5 + 10) y + 25) = 0$

解题步骤 4.3.2.1.1.3

运用分配律。

$- (2 y^{2} + 5 y + 10 y + 25) = 0$

解题步骤 4.3.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.3.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- ((2 y^{2} + 5 y) + 10 y + 25) = 0$

解题步骤 4.3.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- (y (2 y + 5) + 5 (2 y + 5)) = 0$

解题步骤 4.3.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 y + 5$ 来因式分解多项式。

$- ((2 y + 5) (y + 5)) = 0$

解题步骤 4.3.2.2

去掉多余的括号。

$- (2 y + 5) (y + 5) = 0$

解题步骤 4.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 y + 5 = 0$

$y + 5 = 0$

解题步骤 4.5

将 $2 y + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $2 y + 5$ 设为等于 $0$ 。

$2 y + 5 = 0$

解题步骤 4.5.2

求解 $y$ 的 $2 y + 5 = 0$ 。

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解题步骤 4.5.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$2 y = - 5$

解题步骤 4.5.2.2

将 $2 y = - 5$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.5.2.2.1

将 $2 y = - 5$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

解题步骤 4.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{- 5}{2}$

解题步骤 4.5.2.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 5}{2}$

解题步骤 4.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{5}{2}$

解题步骤 4.6

将 $y + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 4.6.1

将 $y + 5$ 设为等于 $0$ 。

$y + 5 = 0$

解题步骤 4.6.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$y = - 5$

解题步骤 4.7

最终解为使 $- (2 y + 5) (y + 5) = 0$ 成立的所有值。

$y = - \frac{5}{2}, - 5$

解题步骤 5

排除不能使 $\sqrt{7 y^{2} + 15 y} - 2 y = 5 + y$ 成立的解。

$无解$

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