初级微积分示例

$f (x) = \frac{5 x^{4} + 3 x^{2} - x}{x^{3}}$

解题步骤 1

从 $5 x^{4} + 3 x^{2} - x$ 中分解出因数 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

从 $5 x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + 3 x^{2} - x}{x^{3}}]$

解题步骤 1.2

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + x (3 x) - x}{x^{3}}]$

解题步骤 1.3

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3}) + x (3 x) + x \cdot - 1}{x^{3}}]$

解题步骤 1.4

从 $x (5 x^{3}) + x (3 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x) + x \cdot - 1}{x^{3}}]$

解题步骤 1.5

从 $x (5 x^{3} + 3 x) + x \cdot - 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}]$

解题步骤 2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x \cdot x^{2}}]$

解题步骤 2.2

约去公因数。

$\frac{d}{d x} [\frac{x (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x \cdot x^{2}}]$

解题步骤 2.3

重写表达式。

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{3} + 3 x - 1}{x^{2}}]$

解题步骤 3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 5 x^{3} + 3 x - 1$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 4.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 3 x - 1] - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $5 x^{3} + 3 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{2} (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.5

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.6

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.8

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3 + 0) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.10

将 $15 x^{2} + 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - (5 x^{3} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 4.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - (5 x^{3} + 3 x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 4.12

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.12.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x}{x^{4}}$

解题步骤 4.12.2

从 $x^{2} (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x$ 中分解出因数 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.12.2.1

从 $x^{2} (15 x^{2} + 3)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3)) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x}{x^{4}}$

解题步骤 4.12.2.2

从 $- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3)) + x (- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x^{4}}$

解题步骤 4.12.2.3

从 $x (x (15 x^{2} + 3)) + x (- 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x^{4}}$

解题步骤 5

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 5.2

约去公因数。

$\frac{x (x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 5.3

重写表达式。

$\frac{x (15 x^{2} + 3) - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}$

解题步骤 6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{x (15 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3} + 3 x - 1)}{x^{3}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{x (15 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

解题步骤 6.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{15 x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{15 (x^{2} x) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.1.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{15 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{15 x^{2 + 1} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{15 x^{3} + x \cdot 3 - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.1.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{15 x^{3} + 3 \cdot x - 2 (5 x^{3}) - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.1.4

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.1.5

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 6 x - 2 \cdot - 1}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{15 x^{3} + 3 x - 10 x^{3} - 6 x + 2}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.2

从 $15 x^{3}$ 中减去 $10 x^{3}$ 。

$\frac{5 x^{3} + 3 x - 6 x + 2}{x^{3}}$

解题步骤 6.3.3

从 $3 x$ 中减去 $6 x$ 。

$\frac{5 x^{3} - 3 x + 2}{x^{3}}$

初级微积分 示例

初级微积分示例