初级微积分示例

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$ , $\cos (θ) = \frac{\sqrt{15}}{4}$

解题步骤 1

要求 $\tan (θ)$ 的值，请使用 $\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 并代入已知值。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$

解题步骤 2

化简结果。

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解题步骤 2.1

将分子乘以分母的倒数。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}}$

解题步骤 2.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}}$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{1}{\sqrt{15}}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{\sqrt{15}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{15}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

解题步骤 2.4.2

对 $\sqrt{15}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

解题步骤 2.4.3

对 $\sqrt{15}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

解题步骤 2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

解题步骤 2.4.6

将 ${\sqrt{15}}^{2}$ 重写为 $15$ 。

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解题步骤 2.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{15}$ 重写成 $15^{\frac{1}{2}}$ 。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.6.4.1

约去公因数。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.6.4.2

重写表达式。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{15}}{15}$

解题步骤 2.4.6.5

计算指数。

$\tan (θ) = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} = \frac{\sqrt{15}}{15}$

解题步骤 3

要求 $\cot (θ)$ 的值，请使用 $\frac{1}{\tan (θ)}$ 并代入已知值。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{15}}{15}}$

解题步骤 4

化简结果。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = 1 (\frac{15}{\sqrt{15}})$

解题步骤 4.2

将 $\frac{15}{\sqrt{15}}$ 乘以 $1$ 。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{15}{\sqrt{15}}$

解题步骤 4.3

将 $\frac{15}{\sqrt{15}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{15}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.4.1

将 $\frac{15}{\sqrt{15}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{15 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

解题步骤 4.4.2

对 $\sqrt{15}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{15 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

解题步骤 4.4.3

对 $\sqrt{15}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{15 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

解题步骤 4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{15 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{15 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

解题步骤 4.4.6

将 ${\sqrt{15}}^{2}$ 重写为 $15$ 。

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解题步骤 4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{15}$ 重写成 $15^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{15 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.6.4.1

约去公因数。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{15 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.4.2

重写表达式。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{15 \sqrt{15}}{15}$

解题步骤 4.4.6.5

计算指数。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{15 \sqrt{15}}{15}$

解题步骤 4.5

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

约去公因数。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \frac{15 \sqrt{15}}{15}$

解题步骤 4.5.2

用 $\sqrt{15}$ 除以 $1$ 。

$\cot (θ) = \frac{1}{\tan (θ)} = \sqrt{15}$

解题步骤 5

要求 $\sec (θ)$ 的值，请使用 $\frac{1}{\cos (θ)}$ 并代入已知值。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$

解题步骤 6

化简结果。

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解题步骤 6.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = 1 (\frac{4}{\sqrt{15}})$

解题步骤 6.2

将 $\frac{4}{\sqrt{15}}$ 乘以 $1$ 。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{4}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.3

将 $\frac{4}{\sqrt{15}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{4}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

解题步骤 6.4

合并和化简分母。

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解题步骤 6.4.1

将 $\frac{4}{\sqrt{15}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ 。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

解题步骤 6.4.2

对 $\sqrt{15}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

解题步骤 6.4.3

对 $\sqrt{15}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

解题步骤 6.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

解题步骤 6.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

解题步骤 6.4.6

将 ${\sqrt{15}}^{2}$ 重写为 $15$ 。

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解题步骤 6.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{15}$ 重写成 $15^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{4 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 6.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 6.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.6.4.1

约去公因数。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 6.4.6.4.2

重写表达式。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

解题步骤 6.4.6.5

计算指数。

$\sec (θ) = \frac{1}{\cos (θ)} = \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

解题步骤 7

要求 $\csc (θ)$ 的值，请使用 $\frac{1}{\sin (θ)}$ 并代入已知值。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

解题步骤 8

化简结果。

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解题步骤 8.1

将分子乘以分母的倒数。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = 1 \cdot 4$

解题步骤 8.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\csc (θ) = \frac{1}{\sin (θ)} = 4$

解题步骤 9

求得的三角函数如下：

$\sin (θ) = \frac{1}{4}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{15}}{4}$

$\tan (θ) = \frac{\sqrt{15}}{15}$

$\cot (θ) = \sqrt{15}$

$\sec (θ) = \frac{4 \sqrt{15}}{15}$

$\csc (θ) = 4$

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