初级微积分示例

$y = (- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 3 x^{2} + 2)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4$ 且 $g (x) = - 3 x^{2} + 2$ 。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 2] + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

解题步骤 2

根据加法法则， $- 3 x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

解题步骤 3.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x + \frac{d}{d x} [2]) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

解题步骤 4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x + 0) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

解题步骤 4.2

将 $- 6 x$ 和 $0$ 相加。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4]$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 5.3

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 6

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 6.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 10 x + \frac{d}{d x} [4])$

解题步骤 7

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 10 x + 0)$

解题步骤 7.2

将 $- 8 x^{3} + 10 x$ 和 $0$ 相加。

$(- 2 x^{4} + 5 x^{2} + 4) (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 10 x)$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

运用分配律。

$- 2 x^{4} (- 6 x) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3} + 10 x)$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$- 2 x^{4} (- 6 x) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) + (- 3 x^{2} + 2) (- 8 x^{3}) + (- 3 x^{2} + 2) (10 x)$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$- 2 x^{4} (- 6 x) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) + (- 3 x^{2} + 2) (10 x)$

解题步骤 8.4

运用分配律。

$- 2 x^{4} (- 6 x) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.5.1

将 $- 6$ 乘以 $- 2$ 。

$12 x^{4} x + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 (x^{1} x^{4}) + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 x^{1 + 4} + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.4

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$12 x^{5} + 5 x^{2} (- 6 x) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.5

将 $- 6$ 乘以 $5$ 。

$12 x^{5} - 30 x^{2} x + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 x^{5} - 30 (x^{1} x^{2}) + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 x^{5} - 30 x^{1 + 2} + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.8

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$12 x^{5} - 30 x^{3} + 4 (- 6 x) - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.9

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x - 3 x^{2} (- 8 x^{3}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.10

将 $- 8$ 乘以 $- 3$ 。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{2} x^{3} + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.11

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.5.11.1

移动 $x^{3}$ 。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 (x^{3} x^{2}) + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.11.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{3 + 2} + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.11.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} + 2 (- 8 x^{3}) - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.12

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 3 x^{2} (10 x) + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.13

将 $10$ 乘以 $- 3$ 。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 x^{2} x + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 (x^{1} x^{2}) + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 x^{1 + 2} + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.16

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 x^{3} + 2 (10 x)$

解题步骤 8.5.17

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 16 x^{3} - 30 x^{3} + 20 x$

解题步骤 8.5.18

从 $- 16 x^{3}$ 中减去 $30 x^{3}$ 。

$12 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x + 24 x^{5} - 46 x^{3} + 20 x$

解题步骤 8.5.19

将 $12 x^{5}$ 和 $24 x^{5}$ 相加。

$36 x^{5} - 30 x^{3} - 24 x - 46 x^{3} + 20 x$

解题步骤 8.5.20

从 $- 30 x^{3}$ 中减去 $46 x^{3}$ 。

$36 x^{5} - 76 x^{3} - 24 x + 20 x$

解题步骤 8.5.21

将 $- 24 x$ 和 $20 x$ 相加。

$36 x^{5} - 76 x^{3} - 4 x$

初级微积分 示例

初级微积分示例