初级微积分示例

${(x + 2)}^{7}$

解题步骤 1

帕斯卡三角形可以显示为：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

$1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$

通过取指数 $n$ 并和 $1$ 相加，该三角形可用于计算 ${(a + b)}^{n}$ 的展开系数。这些系数将对应三角形的直线 $n + 1$ 。因为 ${(x + 2)}^{7}$ , $n = 7$ ，所以展开系数将对应直线 $8$ 。

解题步骤 2

展开式符合这个规则 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 。从三角形可以得出它的系数值为 $1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$ 。

$1 a^{7} b^{0} + 7 a^{6} b + 21 a^{5} b^{2} + 35 a^{4} b^{3} + 35 a^{3} b^{4} + 21 a^{2} b^{5} + 7 a b^{6} + 1 a^{0} b^{7}$

解题步骤 3

将 $a$ $x$ 和 $b$ $2$ 的实际值代入表达式。

$1 {(x)}^{7} {(2)}^{0} + 7 {(x)}^{6} {(2)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(x)}^{7}$ 乘以 $1$ 。

${(x)}^{7} {(2)}^{0} + 7 {(x)}^{6} {(2)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{7} \cdot 1 + 7 {(x)}^{6} {(2)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4.3

将 $x^{7}$ 乘以 $1$ 。

$x^{7} + 7 {(x)}^{6} {(2)}^{1} + 21 {(x)}^{5} {(2)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4.4

计算指数。

$x^{7} + 7 x^{6} \cdot 2 + 21 {(x)}^{5} {(2)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4.5

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$x^{7} + 14 x^{6} + 21 {(x)}^{5} {(2)}^{2} + 35 {(x)}^{4} {(2)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{7} + 14 x^{6} + 21 x^{5} \cdot 4 + 35 {(x)}^{4} {(2)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4.7

将 $4$ 乘以 $21$ 。

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 35 {(x)}^{4} {(2)}^{3} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4.8

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 35 x^{4} \cdot 8 + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4.9

将 $8$ 乘以 $35$ 。

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 35 {(x)}^{3} {(2)}^{4} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4.10

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 35 x^{3} \cdot 16 + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4.11

将 $16$ 乘以 $35$ 。

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 21 {(x)}^{2} {(2)}^{5} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4.12

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 21 x^{2} \cdot 32 + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4.13

将 $32$ 乘以 $21$ 。

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 672 x^{2} + 7 {(x)}^{1} {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4.14

化简。

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 672 x^{2} + 7 x {(2)}^{6} + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4.15

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 672 x^{2} + 7 x \cdot 64 + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4.16

将 $64$ 乘以 $7$ 。

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 672 x^{2} + 448 x + 1 {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4.17

将 ${(x)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 672 x^{2} + 448 x + {(x)}^{0} {(2)}^{7}$

解题步骤 4.18

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 672 x^{2} + 448 x + 1 {(2)}^{7}$

解题步骤 4.19

将 ${(2)}^{7}$ 乘以 $1$ 。

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 672 x^{2} + 448 x + {(2)}^{7}$

解题步骤 4.20

对 $2$ 进行 $7$ 次方运算。

$x^{7} + 14 x^{6} + 84 x^{5} + 280 x^{4} + 560 x^{3} + 672 x^{2} + 448 x + 128$

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