初级微积分示例

$x^{2} - y^{2} - 8 x - 4 y - 4 = 0$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$x^{2} - y^{2} - 8 x - 4 y = 4$

解题步骤 1.2

对 $x^{2} - 8 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2

约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 4}{1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$d = - 4$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{64}{4}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

用 $64$ 除以 $4$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 16$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$e = 0 - 16$

解题步骤 1.2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $16$ 。

$e = - 16$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x - 4)}^{2} - 16$ 。

${(x - 4)}^{2} - 16$

解题步骤 1.3

在方程 $x^{2} - y^{2} - 8 x - 4 y = 4$ 中，用 ${(x - 4)}^{2} - 16$ 代替 $x^{2} - 8 x$ 。

${(x - 4)}^{2} - 16 - y^{2} - 4 y = 4$

解题步骤 1.4

通过在等式两边同时加上 $16$ 的方法来将 $- 16$ 移到等式右边。

${(x - 4)}^{2} - y^{2} - 4 y = 4 + 16$

解题步骤 1.5

对 $- y^{2} - 4 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = - 4$

$c = 0$

解题步骤 1.5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 4}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

移动 $\frac{- 2}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot - 2$

解题步骤 1.5.3.2.2

将 $- 1 \cdot - 2$ 重写为 $- - 2$ 。

$d = - - 2$

解题步骤 1.5.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$d = 2$

解题步骤 1.5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

约去 ${(- 4)}^{2}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.4.2.1.1.2

对 $- 1 (4)$ 运用乘积法则。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.4.2.1.1.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.4.2.1.1.4

将 $4^{2}$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.4.2.1.1.5

从 $4^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 1.5.4.2.1.1.6

移动 $\frac{4}{- 1}$ 中分母的负号。

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

乘以 $- (- 1 \cdot 4)$ 。

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解题步骤 1.5.4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = 0 - - 4$

解题步骤 1.5.4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$e = 0 + 4$

解题步骤 1.5.4.2.2

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$e = 4$

解题步骤 1.5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(y + 2)}^{2} + 4$ 。

$- {(y + 2)}^{2} + 4$

解题步骤 1.6

在方程 $x^{2} - y^{2} - 8 x - 4 y = 4$ 中，用 $- {(y + 2)}^{2} + 4$ 代替 $- y^{2} - 4 y$ 。

${(x - 4)}^{2} - {(y + 2)}^{2} + 4 = 4 + 16$

解题步骤 1.7

通过在等式两边同时加上 $4$ 的方法来将 $4$ 移到等式右边。

${(x - 4)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 4 + 16 - 4$

解题步骤 1.8

化简 $4 + 16 - 4$ 。

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解题步骤 1.8.1

将 $4$ 和 $16$ 相加。

${(x - 4)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 20 - 4$

解题步骤 1.8.2

从 $20$ 中减去 $4$ 。

${(x - 4)}^{2} - {(y + 2)}^{2} = 16$

解题步骤 1.9

将每一项除以 $16$ 以使方程右边等于一。

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

解题步骤 1.10

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 4$

$b = 4$

$k = - 2$

$h = 4$

解题步骤 4

双曲线的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(4, - 2)$

解题步骤 5

初级微积分 示例

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