初级微积分示例

$8 x^{3} + 50 x^{2} - 41 x + 7 = 0$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{4}, \pm \frac{7}{8}$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

$8 {(\frac{1}{2})}^{3} + 50 {(\frac{1}{2})}^{2} - 41 (\frac{1}{2}) + 7$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = \frac{1}{2}$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$8 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 50 {(\frac{1}{2})}^{2} - 41 (\frac{1}{2}) + 7$

解题步骤 4.1.2

一的任意次幂都为一。

$8 \frac{1}{2^{3}} + 50 {(\frac{1}{2})}^{2} - 41 (\frac{1}{2}) + 7$

解题步骤 4.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 (\frac{1}{8}) + 50 {(\frac{1}{2})}^{2} - 41 (\frac{1}{2}) + 7$

解题步骤 4.1.4

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

约去公因数。

$8 (\frac{1}{8}) + 50 {(\frac{1}{2})}^{2} - 41 (\frac{1}{2}) + 7$

解题步骤 4.1.4.2

重写表达式。

$1 + 50 {(\frac{1}{2})}^{2} - 41 (\frac{1}{2}) + 7$

解题步骤 4.1.5

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$1 + 50 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 41 (\frac{1}{2}) + 7$

解题步骤 4.1.6

一的任意次幂都为一。

$1 + 50 \frac{1}{2^{2}} - 41 (\frac{1}{2}) + 7$

解题步骤 4.1.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 50 (\frac{1}{4}) - 41 (\frac{1}{2}) + 7$

解题步骤 4.1.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.8.1

从 $50$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + 2 (25) \frac{1}{4} - 41 (\frac{1}{2}) + 7$

解题步骤 4.1.8.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + 2 \cdot 25 \frac{1}{2 \cdot 2} - 41 (\frac{1}{2}) + 7$

解题步骤 4.1.8.3

约去公因数。

$1 + 2 \cdot 25 \frac{1}{2 \cdot 2} - 41 (\frac{1}{2}) + 7$

解题步骤 4.1.8.4

重写表达式。

$1 + 25 (\frac{1}{2}) - 41 (\frac{1}{2}) + 7$

解题步骤 4.1.9

组合 $25$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$1 + \frac{25}{2} - 41 (\frac{1}{2}) + 7$

解题步骤 4.1.10

组合 $- 41$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$1 + \frac{25}{2} + \frac{- 41}{2} + 7$

解题步骤 4.1.11

将负号移到分数的前面。

$1 + \frac{25}{2} - \frac{41}{2} + 7$

解题步骤 4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.1

在公分母上合并分子。

$1 + 7 + \frac{25 - 41}{2}$

解题步骤 4.2.2

从 $25$ 中减去 $41$ 。

$1 + 7 + \frac{- 16}{2}$

解题步骤 4.3

求公分母。

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解题步骤 4.3.1

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{1}{1} + 7 + \frac{- 16}{2}$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2} + 7 + \frac{- 16}{2}$

解题步骤 4.3.3

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} + 7 + \frac{- 16}{2}$

解题步骤 4.3.4

将 $7$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{2}{2} + \frac{7}{1} + \frac{- 16}{2}$

解题步骤 4.3.5

将 $\frac{7}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} + \frac{7}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{- 16}{2}$

解题步骤 4.3.6

将 $\frac{7}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2} + \frac{- 16}{2}$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 + 7 \cdot 2 - 16}{2}$

解题步骤 4.5

化简表达式。

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解题步骤 4.5.1

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 + 14 - 16}{2}$

解题步骤 4.5.2

将 $2$ 和 $14$ 相加。

$\frac{16 - 16}{2}$

解题步骤 4.5.3

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$\frac{0}{2}$

解题步骤 4.5.4

用 $0$ 除以 $2$ 。

$0$

解题步骤 5

因为 $\frac{1}{2}$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x - \frac{1}{2}$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{8 x^{3} + 50 x^{2} - 41 x + 7}{x - \frac{1}{2}}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$\frac{1}{2}$	$8$	$50$	$- 41$	$7$

解题步骤 6.2

将被除数 $(8)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$\frac{1}{2}$	$8$	$50$	$- 41$	$7$

	$8$

解题步骤 6.3

将结果 $(8)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{1}{2})$ 并将 $(4)$ 的结果置于被除数 $(50)$ 的下一项下方。

$\frac{1}{2}$	$8$	$50$	$- 41$	$7$
		$4$
	$8$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{1}{2}$	$8$	$50$	$- 41$	$7$
		$4$
	$8$	$54$

解题步骤 6.5

将结果 $(54)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{1}{2})$ 并将 $(27)$ 的结果置于被除数 $(- 41)$ 的下一项下方。

$\frac{1}{2}$	$8$	$50$	$- 41$	$7$
		$4$	$27$
	$8$	$54$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{1}{2}$	$8$	$50$	$- 41$	$7$
		$4$	$27$
	$8$	$54$	$- 14$

解题步骤 6.7

将结果 $(- 14)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{1}{2})$ 并将 $(- 7)$ 的结果置于被除数 $(7)$ 的下一项下方。

$\frac{1}{2}$	$8$	$50$	$- 41$	$7$
		$4$	$27$	$- 7$
	$8$	$54$	$- 14$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{1}{2}$	$8$	$50$	$- 41$	$7$
		$4$	$27$	$- 7$
	$8$	$54$	$- 14$	$0$

解题步骤 6.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$8 x^{2} + 54 x - 14$

解题步骤 7

从 $8 x^{2} + 54 x - 14$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 7.1

从 $8 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (4 x^{2}) + 54 x - 14)$

解题步骤 7.2

从 $54 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (4 x^{2}) + 2 (27 x) - 14)$

解题步骤 7.3

从 $- 14$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (4 x^{2}) + 2 (27 x) + 2 (- 7))$

解题步骤 7.4

从 $2 (4 x^{2}) + 2 (27 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (4 x^{2} + 27 x) + 2 (- 7))$

解题步骤 7.5

从 $2 (4 x^{2} + 27 x) + 2 (- 7)$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (4 x^{2} + 27 x - 7))$

解题步骤 8

因数。

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解题步骤 8.1

分组因式分解。

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解题步骤 8.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot - 7 = - 28$ 并且它们的和为 $b = 27$ 。

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解题步骤 8.1.1.1

从 $27 x$ 中分解出因数 $27$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (4 x^{2} + 27 (x) - 7))$

解题步骤 8.1.1.2

把 $27$ 重写为 $- 1$ 加 $28$

$(x - \frac{1}{2}) (2 (4 x^{2} + (- 1 + 28) x - 7))$

解题步骤 8.1.1.3

运用分配律。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (4 x^{2} - 1 x + 28 x - 7))$

解题步骤 8.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 8.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((4 x^{2} - 1 x) + 28 x - 7))$

解题步骤 8.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x (4 x - 1) + 7 (4 x - 1)))$

解题步骤 8.1.3

通过因式分解出最大公因数 $4 x - 1$ 来因式分解多项式。

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((4 x - 1) (x + 7)))$

解题步骤 8.2

去掉多余的括号。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (4 x - 1) (x + 7))$

解题步骤 9

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 9.1

使用有理根检验法因式分解 $8 x^{3} + 50 x^{2} - 41 x + 7$ 。

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解题步骤 9.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

解题步骤 9.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.125, \pm 0.5, \pm 0.25, \pm 7, \pm 0.875, \pm 3.5, \pm 1.75$

解题步骤 9.1.3

代入 $0.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 9.1.3.1

将 $0.5$ 代入多项式。

$8 \cdot {0.5}^{3} + 50 \cdot {0.5}^{2} - 41 \cdot 0.5 + 7$

解题步骤 9.1.3.2

对 $0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 \cdot 0.125 + 50 \cdot {0.5}^{2} - 41 \cdot 0.5 + 7$

解题步骤 9.1.3.3

将 $8$ 乘以 $0.125$ 。

$1 + 50 \cdot {0.5}^{2} - 41 \cdot 0.5 + 7$

解题步骤 9.1.3.4

对 $0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 50 \cdot 0.25 - 41 \cdot 0.5 + 7$

解题步骤 9.1.3.5

将 $50$ 乘以 $0.25$ 。

$1 + 12.5 - 41 \cdot 0.5 + 7$

解题步骤 9.1.3.6

将 $1$ 和 $12.5$ 相加。

$13.5 - 41 \cdot 0.5 + 7$

解题步骤 9.1.3.7

将 $- 41$ 乘以 $0.5$ 。

$13.5 - 20.5 + 7$

解题步骤 9.1.3.8

从 $13.5$ 中减去 $20.5$ 。

$- 7 + 7$

解题步骤 9.1.3.9

将 $- 7$ 和 $7$ 相加。

$0$

解题步骤 9.1.4

因为 $0.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{8 x^{3} + 50 x^{2} - 41 x + 7}{2 x - 1}$

解题步骤 9.1.5

用 $8 x^{3} + 50 x^{2} - 41 x + 7$ 除以 $2 x - 1$ 。

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解题步骤 9.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$1$

$8 x^{3}$

$50 x^{2}$

$41 x$

$7$

解题步骤 9.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $8 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$4 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$50 x^{2}$	-	$41 x$	+	$7$

解题步骤 9.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$50 x^{2}$	-	$41 x$	+	$7$
			+	$8 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

解题步骤 9.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $8 x^{3} - 4 x^{2}$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$50 x^{2}$	-	$41 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

解题步骤 9.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$50 x^{2}$	-	$41 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$54 x^{2}$

解题步骤 9.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$50 x^{2}$	-	$41 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$54 x^{2}$	-	$41 x$

解题步骤 9.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $54 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$4 x^{2}$	+	$27 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$50 x^{2}$	-	$41 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$54 x^{2}$	-	$41 x$

解题步骤 9.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$	+	$27 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$50 x^{2}$	-	$41 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$54 x^{2}$	-	$41 x$
					+	$54 x^{2}$	-	$27 x$

解题步骤 9.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $54 x^{2} - 27 x$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$	+	$27 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$50 x^{2}$	-	$41 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$54 x^{2}$	-	$41 x$
					-	$54 x^{2}$	+	$27 x$

解题步骤 9.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$	+	$27 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$50 x^{2}$	-	$41 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$54 x^{2}$	-	$41 x$
					-	$54 x^{2}$	+	$27 x$
							-	$14 x$

解题步骤 9.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 x^{2}$	+	$27 x$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$50 x^{2}$	-	$41 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$54 x^{2}$	-	$41 x$
					-	$54 x^{2}$	+	$27 x$
							-	$14 x$	+	$7$

解题步骤 9.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 14 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$4 x^{2}$	+	$27 x$	-	$7$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$50 x^{2}$	-	$41 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$54 x^{2}$	-	$41 x$
					-	$54 x^{2}$	+	$27 x$
							-	$14 x$	+	$7$

解题步骤 9.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$	+	$27 x$	-	$7$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$50 x^{2}$	-	$41 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$54 x^{2}$	-	$41 x$
					-	$54 x^{2}$	+	$27 x$
							-	$14 x$	+	$7$
							-	$14 x$	+	$7$

解题步骤 9.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 14 x + 7$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$	+	$27 x$	-	$7$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$50 x^{2}$	-	$41 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$54 x^{2}$	-	$41 x$
					-	$54 x^{2}$	+	$27 x$
							-	$14 x$	+	$7$
							+	$14 x$	-	$7$

解题步骤 9.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$	+	$27 x$	-	$7$
$2 x$	-	$1$		$8 x^{3}$	+	$50 x^{2}$	-	$41 x$	+	$7$
			-	$8 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$54 x^{2}$	-	$41 x$
					-	$54 x^{2}$	+	$27 x$
							-	$14 x$	+	$7$
							+	$14 x$	-	$7$
										$0$

解题步骤 9.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$4 x^{2} + 27 x - 7$

解题步骤 9.1.6

将 $8 x^{3} + 50 x^{2} - 41 x + 7$ 书写为因数的集合。

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 27 x - 7) = 0$

解题步骤 9.2

分组因式分解。

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解题步骤 9.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 9.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot - 7 = - 28$ 并且它们的和为 $b = 27$ 。

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解题步骤 9.2.1.1.1

从 $27 x$ 中分解出因数 $27$ 。

$(2 x - 1) (4 x^{2} + 27 (x) - 7) = 0$

解题步骤 9.2.1.1.2

把 $27$ 重写为 $- 1$ 加 $28$

$(2 x - 1) (4 x^{2} + (- 1 + 28) x - 7) = 0$

解题步骤 9.2.1.1.3

运用分配律。

$(2 x - 1) (4 x^{2} - 1 x + 28 x - 7) = 0$

解题步骤 9.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 9.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(2 x - 1) ((4 x^{2} - 1 x) + 28 x - 7) = 0$

解题步骤 9.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(2 x - 1) (x (4 x - 1) + 7 (4 x - 1)) = 0$

解题步骤 9.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $4 x - 1$ 来因式分解多项式。

$(2 x - 1) ((4 x - 1) (x + 7)) = 0$

解题步骤 9.2.2

去掉多余的括号。

$(2 x - 1) (4 x - 1) (x + 7) = 0$

解题步骤 10

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x + 7 = 0$

解题步骤 11

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 11.2

求解 $x$ 的 $2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 11.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 11.2.2

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 11.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 11.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 11.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 12

将 $4 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $4 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$4 x - 1 = 0$

解题步骤 12.2

求解 $x$ 的 $4 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 12.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$4 x = 1$

解题步骤 12.2.2

将 $4 x = 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 12.2.2.1

将 $4 x = 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 12.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 12.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 12.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{4}$

解题步骤 13

将 $x + 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

将 $x + 7$ 设为等于 $0$ 。

$x + 7 = 0$

解题步骤 13.2

从等式两边同时减去 $7$ 。

$x = - 7$

解题步骤 14

最终解为使 $(2 x - 1) (4 x - 1) (x + 7) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, - 7$

解题步骤 15

初级微积分 示例

初级微积分示例