初级微积分示例

$y = 10^{x}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = 10^{y}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $10^{y} = x$ 。

$10^{y} = x$

解题步骤 2.2

方程两边同时取以 $10$ 为底的对数来去掉指数中的变量。

$\log (10^{y}) = \log (x)$

解题步骤 2.3

展开左边。

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解题步骤 2.3.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\log (10^{y})$ 。

$y \log (10) = \log (x)$

解题步骤 2.3.2

$10$ 的对数底 $10$ 的值为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \log (x)$

解题步骤 2.3.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \log (x)$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \log (x)$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \log (x)$ 是否为 $f (x) = 10^{x}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} \cdot 10^{x}$ 。

$f^{- 1} \cdot 10^{x} = \log (10^{x})$

解题步骤 4.2.3

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f^{- 1} \cdot 10^{x} = x \log (10)$

解题步骤 4.2.4

$10$ 的对数底 $10$ 的值为 $1$ 。

$f^{- 1} \cdot 10^{x} = x \cdot 1$

解题步骤 4.2.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} \cdot 10^{x} = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\log (x))$ 。

$f (\log (x)) = 10^{\log (x)}$

解题步骤 4.3.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\log (x)) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \log (x)$ 为 $f (x) = 10^{x}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \log (x)$

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