初级微积分示例

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24$

解题步骤 1

求 x 轴截距。

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解题步骤 1.1

要求 x 轴截距，请将 $0$ 代入 $y$ 并求解 $x$ 。

$0 = x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24$

解题步骤 1.2

求解方程。

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解题步骤 1.2.1

将方程重写为 $x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24 = 0$ 。

$x^{4} - x^{3} - 14 x^{2} + 2 x + 24 = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

重新组合项。

$- x^{3} + 2 x + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从 $- x^{3} + 2 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x \cdot x^{2} + 2 x + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

解题步骤 1.2.2.2.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 2 + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

解题步骤 1.2.2.2.3

从 $- x (x^{2}) - x (- 2)$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (x^{2} - 2) + x^{4} - 14 x^{2} + 24 = 0$

解题步骤 1.2.2.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- x (x^{2} - 2) + {(x^{2})}^{2} - 14 x^{2} + 24 = 0$

解题步骤 1.2.2.4

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- x (x^{2} - 2) + u^{2} - 14 u + 24 = 0$

解题步骤 1.2.2.5

使用 AC 法来对 $u^{2} - 14 u + 24$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $24$ ，和为 $- 14$ 。

$- 12, - 2$

解题步骤 1.2.2.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$- x (x^{2} - 2) + (u - 12) (u - 2) = 0$

解题步骤 1.2.2.6

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2) = 0$

解题步骤 1.2.2.7

从 $- x (x^{2} - 2) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2)$ 中分解出因数 $x^{2} - 2$ 。

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解题步骤 1.2.2.7.1

从 $- x (x^{2} - 2)$ 中分解出因数 $x^{2} - 2$ 。

$(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 12) (x^{2} - 2) = 0$

解题步骤 1.2.2.7.2

从 $(x^{2} - 12) (x^{2} - 2)$ 中分解出因数 $x^{2} - 2$ 。

$(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 12) = 0$

解题步骤 1.2.2.7.3

从 $(x^{2} - 2) (- x) + (x^{2} - 2) (x^{2} - 12)$ 中分解出因数 $x^{2} - 2$ 。

$(x^{2} - 2) (- x + x^{2} - 12) = 0$

解题步骤 1.2.2.8

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x^{2} - 2) (- u + u^{2} - 12) = 0$

解题步骤 1.2.2.9

使用 AC 法来对 $- u + u^{2} - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.9.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $- 1$ 。

$- 4, 3$

解题步骤 1.2.2.9.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x^{2} - 2) ((u - 4) (u + 3)) = 0$

解题步骤 1.2.2.10

因数。

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解题步骤 1.2.2.10.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} - 2) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

解题步骤 1.2.2.10.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 3) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x^{2} - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $x^{2} - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$x^{2} = 2$

解题步骤 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.4.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.4.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.4.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.4.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.5

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 1.2.6

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 1.2.7

最终解为使 $(x^{2} - 2) (x - 4) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 4, - 3$

解题步骤 1.3

以点的形式表示的 x 轴截距。

x 轴截距： $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0), (4, 0), (- 3, 0)$

解题步骤 2

求 y 轴截距

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解题步骤 2.1

要求 y 轴截距，请将 $0$ 代入 $x$ 并求解 $y$ 。

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

解题步骤 2.2

求解方程。

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解题步骤 2.2.1

去掉圆括号。

$y = 0^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

解题步骤 2.2.2

去掉圆括号。

$y = 0^{4} - 0^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

解题步骤 2.2.3

去掉圆括号。

$y = 0^{4} - 0^{3} - 14 \cdot 0^{2} + 2 (0) + 24$

解题步骤 2.2.4

去掉圆括号。

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

解题步骤 2.2.5

化简 ${(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.5.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - {(0)}^{3} - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

解题步骤 2.2.5.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - 0 - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

解题步骤 2.2.5.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 - 14 {(0)}^{2} + 2 (0) + 24$

解题步骤 2.2.5.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 + 0 - 14 \cdot 0 + 2 (0) + 24$

解题步骤 2.2.5.1.5

将 $- 14$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 0 + 2 (0) + 24$

解题步骤 2.2.5.1.6

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 24$

解题步骤 2.2.5.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.2.5.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 0 + 0 + 24$

解题步骤 2.2.5.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 0 + 24$

解题步骤 2.2.5.2.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 24$

解题步骤 2.2.5.2.4

将 $0$ 和 $24$ 相加。

$y = 24$

解题步骤 2.3

以点的形式表示的 y 轴截距。

y 轴截距： $(0, 24)$

解题步骤 3

列出交点。

x 轴截距： $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0), (4, 0), (- 3, 0)$

y 轴截距： $(0, 24)$

解题步骤 4

初级微积分 示例

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