初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 1}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 1}$ 无定义。

$x = 1$

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

化简表达式。

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解题步骤 6.1.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 6.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{x - 1}$

解题步骤 6.1.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 6.1.1.3

重写多项式。

$\frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{x - 1}$

解题步骤 6.1.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 1}$

解题步骤 6.1.2

约去 ${(x - 1)}^{2}$ 和 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

从 ${(x - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 6.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2.2.2

约去公因数。

$\frac{(x - 1) (x - 1)}{(x - 1) \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2.2.3

重写表达式。

$\frac{x - 1}{1}$

解题步骤 6.1.2.2.4

用 $x - 1$ 除以 $1$ 。

$x - 1$

解题步骤 6.2

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = x - 1$

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = x - 1$

解题步骤 8

初级微积分 示例

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