初级微积分示例

$\sin (4 θ) \cos (2 θ)$

解题步骤 1

从 $4 θ$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (2 (2 θ)) \cos (2 θ)$

解题步骤 2

使用正弦倍角公式。

$2 (2 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ) \cos (2 θ)$

解题步骤 3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 (\sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ) \cos (2 θ)$

解题步骤 4

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 1) \cos (2 θ)$

解题步骤 5

运用分配律。

$(4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

解题步骤 6

通过指数相加将 $\cos (θ)$ 乘以 $\cos^{2} (θ)$ 。

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解题步骤 6.1

移动 $\cos^{2} (θ)$ 。

$(4 \sin (θ) (\cos^{2} (θ) \cos (θ)) \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

解题步骤 6.2

将 $\cos^{2} (θ)$ 乘以 $\cos (θ)$ 。

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解题步骤 6.2.1

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(4 \sin (θ) (\cos^{2} (θ) \cos^{1} (θ)) \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

解题步骤 6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(4 \sin (θ) {\cos (θ)}^{2 + 1} \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

解题步骤 6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(4 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 2 + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot - 1) \cos (2 θ)$

解题步骤 7

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$(4 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ)$

解题步骤 8

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$(8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ)) \cos (2 θ)$

解题步骤 9

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$(8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ)) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$

解题步骤 10

使用 FOIL 方法展开 $(8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ)) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$ 。

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解题步骤 10.1

运用分配律。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$

解题步骤 10.2

运用分配律。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 1 + 8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) (1 - 2 \sin^{2} (θ))$

解题步骤 10.3

运用分配律。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) \cdot 1 + 8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

解题步骤 11

化简项。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) (- 2 \sin^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

解题步骤 11.1.2

通过指数相加将 $\sin (θ)$ 乘以 $\sin^{2} (θ)$ 。

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解题步骤 11.1.2.1

移动 $\sin^{2} (θ)$ 。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

解题步骤 11.1.2.2

将 $\sin^{2} (θ)$ 乘以 $\sin (θ)$ 。

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解题步骤 11.1.2.2.1

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 (\sin^{2} (θ) \sin^{1} (θ)) \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

解题步骤 11.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

解题步骤 11.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) \cdot - 2 - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

解题步骤 11.1.3

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1 - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

解题步骤 11.1.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 2 \sin^{2} (θ))$

解题步骤 11.1.5

通过指数相加将 $\sin (θ)$ 乘以 $\sin^{2} (θ)$ 。

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解题步骤 11.1.5.1

移动 $\sin^{2} (θ)$ 。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos (θ) \cdot - 2$

解题步骤 11.1.5.2

将 $\sin^{2} (θ)$ 乘以 $\sin (θ)$ 。

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解题步骤 11.1.5.2.1

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 (\sin^{2} (θ) \sin^{1} (θ)) \cos (θ) \cdot - 2$

解题步骤 11.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos (θ) \cdot - 2$

解题步骤 11.1.5.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) - 4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) \cdot - 2$

解题步骤 11.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

解题步骤 11.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 11.2.1

从 $8 \sin (θ) \cos^{3} (θ) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$ 中分解出因数 $4 \sin (θ) \cos (θ)$ 。

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解题步骤 11.2.1.1

从 $8 \sin (θ) \cos^{3} (θ)$ 中分解出因数 $4 \sin (θ) \cos (θ)$ 。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) - 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

解题步骤 11.2.1.2

从 $- 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ)$ 中分解出因数 $4 \sin (θ) \cos (θ)$ 。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) - 4 \sin (θ) \cos (θ) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

解题步骤 11.2.1.3

从 $- 4 \sin (θ) \cos (θ)$ 中分解出因数 $4 \sin (θ) \cos (θ)$ 。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1) + 8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$

解题步骤 11.2.1.4

从 $8 \sin^{3} (θ) \cos (θ)$ 中分解出因数 $4 \sin (θ) \cos (θ)$ 。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$

解题步骤 11.2.1.5

从 $4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ))$ 中分解出因数 $4 \sin (θ) \cos (θ)$ 。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$

解题步骤 11.2.1.6

从 $4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (- 1)$ 中分解出因数 $4 \sin (θ) \cos (θ)$ 。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$

解题步骤 11.2.1.7

从 $4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1) + 4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \sin^{2} (θ))$ 中分解出因数 $4 \sin (θ) \cos (θ)$ 。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1 + 2 \sin^{2} (θ))$

解题步骤 11.2.2

移动 $2 \sin^{2} (θ)$ 。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

解题步骤 11.2.3

从 $2 \cos^{2} (θ)$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\cos^{2} (θ)) + 2 \sin^{2} (θ) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

解题步骤 11.2.4

从 $2 \sin^{2} (θ)$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\cos^{2} (θ)) + 2 (\sin^{2} (θ)) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

解题步骤 11.2.5

从 $2 (\cos^{2} (θ)) + 2 (\sin^{2} (θ))$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

解题步骤 12

重新整理项。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

解题步骤 13

使用勾股恒等式。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 \cdot 1 - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

解题步骤 14

通过相乘进行化简。

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解题步骤 14.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (2 - 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) - 1)$

解题步骤 14.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ) + 1)$

解题步骤 14.3

运用分配律。

$4 \sin (θ) \cos (θ) (- 4 \sin^{2} (θ) \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

解题步骤 15

通过指数相加将 $\sin (θ)$ 乘以 $\sin^{2} (θ)$ 。

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解题步骤 15.1

移动 $\sin^{2} (θ)$ 。

$4 (\sin^{2} (θ) \sin (θ)) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

解题步骤 15.2

将 $\sin^{2} (θ)$ 乘以 $\sin (θ)$ 。

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解题步骤 15.2.1

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\sin^{2} (θ) \sin^{1} (θ)) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

解题步骤 15.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 {\sin (θ)}^{2 + 1} \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

解题步骤 15.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ) \cdot 1$

解题步骤 16

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 \sin^{3} (θ) \cos (θ) (- 4 \cos^{2} (θ)) + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

解题步骤 17

化简每一项。

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解题步骤 17.1

通过指数相加将 $\cos (θ)$ 乘以 $\cos^{2} (θ)$ 。

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解题步骤 17.1.1

移动 $\cos^{2} (θ)$ 。

$4 \sin^{3} (θ) (\cos^{2} (θ) \cos (θ)) \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

解题步骤 17.1.2

将 $\cos^{2} (θ)$ 乘以 $\cos (θ)$ 。

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解题步骤 17.1.2.1

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \sin^{3} (θ) (\cos^{2} (θ) \cos^{1} (θ)) \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

解题步骤 17.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \sin^{3} (θ) {\cos (θ)}^{2 + 1} \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

解题步骤 17.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) \cdot - 4 + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

解题步骤 17.2

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$- 16 \sin^{3} (θ) \cos^{3} (θ) + 4 \sin (θ) \cos (θ)$

初级微积分 示例

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