初级微积分示例

$f (x) = \frac{4 x - 3}{3 x + 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 4 x - 3$ 且 $g (x) = 3 x + 1$ 。

$\frac{(3 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 3] - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{(3 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(3 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(3 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(3 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 x + 1) (4 + 0) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(3 x + 1) \cdot 4 - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $4$ 移到 $3 x + 1$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot (3 x + 1) - (4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $3 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.10

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.11

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) (3 + 0)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.12

化简表达式。

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解题步骤 2.12.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 (3 x + 1) - (4 x - 3) \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.12.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 (3 x + 1) - 3 (4 x - 3)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{4 (3 x) + 4 \cdot 1 - 3 (4 x - 3)}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{4 (3 x) + 4 \cdot 1 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

合并 $4 (3 x) + 4 \cdot 1 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.1.1

按照 $4 (3 x)$ 和 $- 3 (4 x)$ 重新排列因数。

$\frac{3 \cdot 4 x + 4 \cdot 1 - 3 \cdot 4 x - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

从 $3 \cdot 4 x$ 中减去 $3 \cdot 4 x$ 。

$\frac{4 \cdot 1 + 0 - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3

将 $4 \cdot 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 \cdot 1 - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 - 3 \cdot - 3}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{4 + 9}{{(3 x + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

将 $4$ 和 $9$ 相加。

$\frac{13}{{(3 x + 1)}^{2}}$

初级微积分 示例

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