初级微积分示例

$4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

$4 {(- \frac{3}{2})}^{4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = - \frac{3}{2}$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.1.1.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.1.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$4 ({(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{2^{4}}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$4 (1 \frac{3^{4}}{2^{4}}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.3

将 $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.4

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$4 \frac{81}{2^{4}} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.5

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$4 (\frac{81}{16}) + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.6.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \frac{81}{4 (4)} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.6.2

约去公因数。

$4 \frac{81}{4 \cdot 4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.6.3

重写表达式。

$\frac{81}{4} + 8 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.1.7.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{4} + 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.7.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{4} + 8 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.8

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.9

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{27}{2^{3}}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.10

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{81}{4} + 8 (- \frac{27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.11

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.11.1

将 $- \frac{27}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{81}{4} + 8 (\frac{- 27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.11.2

约去公因数。

$\frac{81}{4} + 8 (\frac{- 27}{8}) - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.11.3

重写表达式。

$\frac{81}{4} - 27 - 7 {(- \frac{3}{2})}^{2} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.12

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.1.12.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{4} - 27 - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.12.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{81}{4} - 27 - 7 ({(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.13

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{81}{4} - 27 - 7 (1 \frac{3^{2}}{2^{2}}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.14

将 $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{81}{4} - 27 - 7 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.15

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{81}{4} - 27 - 7 \frac{9}{2^{2}} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.16

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{81}{4} - 27 - 7 (\frac{9}{4}) - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.17

乘以 $- 7 (\frac{9}{4})$ 。

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解题步骤 4.1.17.1

组合 $- 7$ 和 $\frac{9}{4}$ 。

$\frac{81}{4} - 27 + \frac{- 7 \cdot 9}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.17.2

将 $- 7$ 乘以 $9$ 。

$\frac{81}{4} - 27 + \frac{- 63}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.18

将负号移到分数的前面。

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} - 21 (- \frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.19

乘以 $- 21 (- \frac{3}{2})$ 。

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解题步骤 4.1.19.1

将 $- 1$ 乘以 $- 21$ 。

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + 21 (\frac{3}{2}) - 9$

解题步骤 4.1.19.2

组合 $21$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + \frac{21 \cdot 3}{2} - 9$

解题步骤 4.1.19.3

将 $21$ 乘以 $3$ 。

$\frac{81}{4} - 27 - \frac{63}{4} + \frac{63}{2} - 9$

解题步骤 4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.1

在公分母上合并分子。

$- 27 - 9 + \frac{81 - 63}{4} + \frac{63}{2}$

解题步骤 4.2.2

从 $81$ 中减去 $63$ 。

$- 27 - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

解题步骤 4.3

求公分母。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 27$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 27}{1} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{- 27}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- 27}{1} \cdot \frac{4}{4} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

解题步骤 4.3.3

将 $\frac{- 27}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} - 9 + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

解题步骤 4.3.4

将 $- 9$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

解题步骤 4.3.5

将 $\frac{- 9}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

解题步骤 4.3.6

将 $\frac{- 9}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2}$

解题步骤 4.3.7

将 $\frac{63}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63}{2} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.3.8

将 $\frac{63}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 27 \cdot 4}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4} + \frac{18}{4} + \frac{63 \cdot 2}{4}$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 27 \cdot 4 - 9 \cdot 4 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

解题步骤 4.5

化简每一项。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 27$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 108 - 9 \cdot 4 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

解题步骤 4.5.2

将 $- 9$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 108 - 36 + 18 + 63 \cdot 2}{4}$

解题步骤 4.5.3

将 $63$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 108 - 36 + 18 + 126}{4}$

解题步骤 4.6

化简表达式。

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解题步骤 4.6.1

从 $- 108$ 中减去 $36$ 。

$\frac{- 144 + 18 + 126}{4}$

解题步骤 4.6.2

将 $- 144$ 和 $18$ 相加。

$\frac{- 126 + 126}{4}$

解题步骤 4.6.3

将 $- 126$ 和 $126$ 相加。

$\frac{0}{4}$

解题步骤 4.6.4

用 $0$ 除以 $4$ 。

$0$

解题步骤 5

因为 $- \frac{3}{2}$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x + \frac{3}{2}$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x + \frac{3}{2}}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

解题步骤 6.2

将被除数 $(4)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

解题步骤 6.3

将结果 $(4)$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{3}{2})$ 并将 $(- 6)$ 的结果置于被除数 $(8)$ 的下一项下方。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$
	$4$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$
	$4$	$2$

解题步骤 6.5

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{3}{2})$ 并将 $(- 3)$ 的结果置于被除数 $(- 7)$ 的下一项下方。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$
	$4$	$2$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$
	$4$	$2$	$- 10$

解题步骤 6.7

将结果 $(- 10)$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{3}{2})$ 并将 $(15)$ 的结果置于被除数 $(- 21)$ 的下一项下方。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$
	$4$	$2$	$- 10$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$

解题步骤 6.9

将结果 $(- 6)$ 中的最新项乘以除数 $(- \frac{3}{2})$ 并将 $(9)$ 的结果置于被除数 $(- 9)$ 的下一项下方。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$	$9$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$

解题步骤 6.10

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{3}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 6$	$- 3$	$15$	$9$
	$4$	$2$	$- 10$	$- 6$	$0$

解题步骤 6.11

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$4 x^{3} + 2 x^{2} + (- 10) x - 6$

解题步骤 6.12

化简商多项式。

$4 x^{3} + 2 x^{2} - 10 x - 6$

解题步骤 7

从 $4 x^{3} + 2 x^{2} - 10 x - 6$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 7.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} - 10 x - 6)$

解题步骤 7.2

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) - 10 x - 6)$

解题步骤 7.3

从 $- 10 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (- 5 x) - 6)$

解题步骤 7.4

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (- 5 x) + 2 \cdot - 3)$

解题步骤 7.5

从 $2 (2 x^{3}) + 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (- 5 x) + 2 \cdot - 3)$

解题步骤 7.6

从 $2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (- 5 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x) + 2 \cdot - 3)$

解题步骤 7.7

从 $2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x) + 2 \cdot - 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x + \frac{3}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3))$

解题步骤 8

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 8.1

使用有理根检验法因式分解 $4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ 。

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解题步骤 8.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 8.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5$

解题步骤 8.1.3

代入 $- 1.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 8.1.3.1

将 $- 1.5$ 代入多项式。

$4 {(- 1.5)}^{4} + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

解题步骤 8.1.3.2

对 $- 1.5$ 进行 $4$ 次方运算。

$4 \cdot 5.0625 + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

解题步骤 8.1.3.3

将 $4$ 乘以 $5.0625$ 。

$20.25 + 8 {(- 1.5)}^{3} - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

解题步骤 8.1.3.4

对 $- 1.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$20.25 + 8 \cdot - 3.375 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

解题步骤 8.1.3.5

将 $8$ 乘以 $- 3.375$ 。

$20.25 - 27 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

解题步骤 8.1.3.6

从 $20.25$ 中减去 $27$ 。

$- 6.75 - 7 {(- 1.5)}^{2} - 21 \cdot - 1.5 - 9$

解题步骤 8.1.3.7

对 $- 1.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 6.75 - 7 \cdot 2.25 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

解题步骤 8.1.3.8

将 $- 7$ 乘以 $2.25$ 。

$- 6.75 - 15.75 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

解题步骤 8.1.3.9

从 $- 6.75$ 中减去 $15.75$ 。

$- 22.5 - 21 \cdot - 1.5 - 9$

解题步骤 8.1.3.10

将 $- 21$ 乘以 $- 1.5$ 。

$- 22.5 + 31.5 - 9$

解题步骤 8.1.3.11

将 $- 22.5$ 和 $31.5$ 相加。

$9 - 9$

解题步骤 8.1.3.12

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$0$

解题步骤 8.1.4

因为 $- 1.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x + 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{2 x + 3}$

解题步骤 8.1.5

用 $4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ 除以 $2 x + 3$ 。

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解题步骤 8.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

解题步骤 8.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $4 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

解题步骤 8.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

解题步骤 8.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{4} + 6 x^{3}$ 中的所有符号

				$2 x^{3}$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$

解题步骤 8.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

解题步骤 8.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$2 x^{3}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

解题步骤 8.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

解题步骤 8.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

解题步骤 8.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} + 3 x^{2}$ 中的所有符号

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

解题步骤 8.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

解题步骤 8.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

解题步骤 8.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 10 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

解题步骤 8.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							-	$10 x^{2}$	-	$15 x$

解题步骤 8.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 10 x^{2} - 15 x$ 中的所有符号

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

解题步骤 8.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

$6 x$

解题步骤 8.1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$2 x$

$3$

$4 x^{4}$

$8 x^{3}$

$7 x^{2}$

$21 x$

$9$

$4 x^{4}$

$6 x^{3}$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x^{2}$

$21 x$

$10 x^{2}$

$15 x$

$6 x$

$9$

解题步骤 8.1.5.17

将被除数中的最高阶项 $- 6 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$

解题步骤 8.1.5.18

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									-	$6 x$	-	$9$

解题步骤 8.1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 6 x - 9$ 中的所有符号

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									+	$6 x$	+	$9$

解题步骤 8.1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
$2 x$	+	$3$		$4 x^{4}$	+	$8 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	-	$21 x$	-	$9$
			-	$4 x^{4}$	-	$6 x^{3}$
					+	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$10 x^{2}$	-	$21 x$
							+	$10 x^{2}$	+	$15 x$
									-	$6 x$	-	$9$
									+	$6 x$	+	$9$
												$0$

解题步骤 8.1.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$

解题步骤 8.1.6

将 $4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$ 书写为因数的集合。

$(2 x + 3) (2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3) = 0$

解题步骤 8.2

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ 。

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解题步骤 8.2.1

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ 。

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解题步骤 8.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 8.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 3, \pm 1.5$

解题步骤 8.2.1.3

代入 $- 1.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 8.2.1.3.1

将 $- 1.5$ 代入多项式。

$2 {(- 1.5)}^{3} + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

解题步骤 8.2.1.3.2

对 $- 1.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot - 3.375 + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

解题步骤 8.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 3.375$ 。

$- 6.75 + {(- 1.5)}^{2} - 5 \cdot - 1.5 - 3$

解题步骤 8.2.1.3.4

对 $- 1.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 6.75 + 2.25 - 5 \cdot - 1.5 - 3$

解题步骤 8.2.1.3.5

将 $- 6.75$ 和 $2.25$ 相加。

$- 4.5 - 5 \cdot - 1.5 - 3$

解题步骤 8.2.1.3.6

将 $- 5$ 乘以 $- 1.5$ 。

$- 4.5 + 7.5 - 3$

解题步骤 8.2.1.3.7

将 $- 4.5$ 和 $7.5$ 相加。

$3 - 3$

解题步骤 8.2.1.3.8

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$0$

解题步骤 8.2.1.4

因为 $- 1.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x + 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3}{2 x + 3}$

解题步骤 8.2.1.5

用 $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ 除以 $2 x + 3$ 。

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解题步骤 8.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$3$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$3$

解题步骤 8.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$

解题步骤 8.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			+	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

解题步骤 8.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} + 3 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

解题步骤 8.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

解题步骤 8.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$

解题步骤 8.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$

解题步骤 8.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 8.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x^{2} - 3 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 8.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$

解题步骤 8.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$

解题步骤 8.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 2 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$

解题步骤 8.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							-	$2 x$	-	$3$

解题步骤 8.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x - 3$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							+	$2 x$	+	$3$

解题步骤 8.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$3$		$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	-	$3$
							+	$2 x$	+	$3$
										$0$

解题步骤 8.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - x - 1$

解题步骤 8.2.1.6

将 $2 x^{3} + x^{2} - 5 x - 3$ 书写为因数的集合。

$(2 x + 3) ((2 x + 3) (x^{2} - x - 1)) = 0$

解题步骤 8.2.2

去掉多余的括号。

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

解题步骤 8.3

合并同类因式。

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解题步骤 8.3.1

对 $2 x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

解题步骤 8.3.2

对 $2 x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$(2 x + 3) (2 x + 3) (x^{2} - x - 1) = 0$

解题步骤 8.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${(2 x + 3)}^{1 + 1} (x^{2} - x - 1) = 0$

解题步骤 8.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${(2 x + 3)}^{2} (x^{2} - x - 1) = 0$

解题步骤 9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(2 x + 3)}^{2} = 0$

$x^{2} - x - 1 = 0$

解题步骤 10

将 ${(2 x + 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

将 ${(2 x + 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(2 x + 3)}^{2} = 0$

解题步骤 10.2

求解 $x$ 的 ${(2 x + 3)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 10.2.1

将 $2 x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 x + 3 = 0$

解题步骤 10.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 10.2.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$2 x = - 3$

解题步骤 10.2.2.2

将 $2 x = - 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 10.2.2.2.1

将 $2 x = - 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 10.2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 10.2.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 10.2.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 10.2.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 10.2.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3}{2}$

解题步骤 11

将 $x^{2} - x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $x^{2} - x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - x - 1 = 0$

解题步骤 11.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 11.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 11.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 1$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 11.2.3

化简。

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解题步骤 11.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 11.2.3.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 11.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 11.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 11.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 11.2.3.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 11.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 11.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 12

最终解为使 ${(2 x + 3)}^{2} (x^{2} - x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{3}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \frac{3}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

小数形式：

$x = - 1.5, 1.61803398 \dots, - 0.61803398 \dots$

带分数形式：

$x = - 1 \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 14

初级微积分 示例

初级微积分示例