初级微积分示例

$x^{2} + y^{2} - 3 x + 8 y = 20$

解题步骤 1

对 $x^{2} - 3 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 0$

解题步骤 1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$d = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 1.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{3}{2}$

解题步骤 1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{9}{4}$

解题步骤 1.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{9}{4}$ 。

$e = - \frac{9}{4}$

解题步骤 1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ 。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

解题步骤 2

在方程 $x^{2} + y^{2} - 3 x + 8 y = 20$ 中，用 ${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ 代替 $x^{2} - 3 x$ 。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} + y^{2} + 8 y = 20$

解题步骤 3

通过在等式两边同时加上 $\frac{9}{4}$ 的方法来将 $- \frac{9}{4}$ 移到等式右边。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + y^{2} + 8 y = 20 + \frac{9}{4}$

解题步骤 4

对 $y^{2} + 8 y$ 进行配方。

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解题步骤 4.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 8$

$c = 0$

解题步骤 4.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 4.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.2

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

解题步骤 4.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{4}{1}$

解题步骤 4.3.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$d = 4$

解题步骤 4.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 4.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{64}{4}$

解题步骤 4.4.2.1.3

用 $64$ 除以 $4$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 16$

解题步骤 4.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$e = 0 - 16$

解题步骤 4.4.2.2

从 $0$ 中减去 $16$ 。

$e = - 16$

解题步骤 4.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y + 4)}^{2} - 16$ 。

${(y + 4)}^{2} - 16$

解题步骤 5

在方程 $x^{2} + y^{2} - 3 x + 8 y = 20$ 中，用 ${(y + 4)}^{2} - 16$ 代替 $y^{2} + 8 y$ 。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} - 16 = 20 + \frac{9}{4}$

解题步骤 6

通过在等式两边同时加上 $16$ 的方法来将 $- 16$ 移到等式右边。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 20 + \frac{9}{4} + 16$

解题步骤 7

化简 $20 + \frac{9}{4} + 16$ 。

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解题步骤 7.1

求公分母。

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解题步骤 7.1.1

将 $20$ 写成分母为 $1$ 的分数。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20}{1} + \frac{9}{4} + 16$

解题步骤 7.1.2

将 $\frac{20}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4} + 16$

解题步骤 7.1.3

将 $\frac{20}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} + 16$

解题步骤 7.1.4

将 $16$ 写成分母为 $1$ 的分数。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} + \frac{16}{1}$

解题步骤 7.1.5

将 $\frac{16}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} + \frac{16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 7.1.6

将 $\frac{16}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4}{4} + \frac{9}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.2

在公分母上合并分子。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{20 \cdot 4 + 9 + 16 \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.3

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1

将 $20$ 乘以 $4$ 。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{80 + 9 + 16 \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.3.2

将 $16$ 乘以 $4$ 。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{80 + 9 + 64}{4}$

解题步骤 7.4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 7.4.1

将 $80$ 和 $9$ 相加。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{89 + 64}{4}$

解题步骤 7.4.2

将 $89$ 和 $64$ 相加。

${(x - \frac{3}{2})}^{2} + {(y + 4)}^{2} = \frac{153}{4}$

初级微积分 示例

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