初级微积分示例

${(3 x + y)}^{4}$

解题步骤 1

帕斯卡三角形可以显示为：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

通过取指数 $n$ 并和 $1$ 相加，该三角形可用于计算 ${(a + b)}^{n}$ 的展开系数。这些系数将对应三角形的直线 $n + 1$ 。因为 ${(3 x + y)}^{4}$ , $n = 4$ ，所以展开系数将对应直线 $5$ 。

解题步骤 2

展开式符合这个规则 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 。从三角形可以得出它的系数值为 $1 - 4 - 6 - 4 - 1$ 。

$1 a^{4} b^{0} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + 1 a^{0} b^{4}$

解题步骤 3

将 $a$ $3 x$ 和 $b$ $y$ 的实际值代入表达式。

$1 {(3 x)}^{4} {(y)}^{0} + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(3 x)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

${(3 x)}^{4} {(y)}^{0} + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.2

对 $3 x$ 运用乘积法则。

$3^{4} x^{4} {(y)}^{0} + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.3

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$81 x^{4} {(y)}^{0} + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$81 x^{4} \cdot 1 + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.5

将 $81$ 乘以 $1$ 。

$81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.6

对 $3 x$ 运用乘积法则。

$81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.7

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.8

将 $27$ 乘以 $4$ 。

$81 x^{4} + 108 x^{3} {(y)}^{1} + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.9

化简。

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 {(3 x)}^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.10

对 $3 x$ 运用乘积法则。

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (3^{2} x^{2}) {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.11

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 6 (9 x^{2}) {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.12

将 $9$ 乘以 $6$ 。

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} {(y)}^{2} + 4 {(3 x)}^{1} {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.13

化简。

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 4 (3 x) {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.14

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x {(y)}^{3} + 1 {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.15

将 ${(3 x)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + {(3 x)}^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.16

对 $3 x$ 运用乘积法则。

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + 3^{0} x^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.17

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + 1 x^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.18

将 $x^{0}$ 乘以 $1$ 。

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + x^{0} {(y)}^{4}$

解题步骤 4.19

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + 1 {(y)}^{4}$

解题步骤 4.20

将 ${(y)}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$81 x^{4} + 108 x^{3} y + 54 x^{2} y^{2} + 12 x y^{3} + y^{4}$

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