初级微积分示例

${(x + 4 y)}^{3}$

解题步骤 1

帕斯卡三角形可以显示为：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

通过取指数 $n$ 并和 $1$ 相加，该三角形可用于计算 ${(a + b)}^{n}$ 的展开系数。这些系数将对应三角形的直线 $n + 1$ 。因为 ${(x + 4 y)}^{3}$ , $n = 3$ ，所以展开系数将对应直线 $4$ 。

解题步骤 2

展开式符合这个规则 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 。从三角形可以得出它的系数值为 $1 - 3 - 3 - 1$ 。

$1 a^{3} b^{0} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + 1 a^{0} b^{3}$

解题步骤 3

将 $a$ $x$ 和 $b$ $4 y$ 的实际值代入表达式。

$1 {(x)}^{3} {(4 y)}^{0} + 3 {(x)}^{2} {(4 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(x)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

${(x)}^{3} {(4 y)}^{0} + 3 {(x)}^{2} {(4 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.2

对 $4 y$ 运用乘积法则。

$x^{3} (4^{0} y^{0}) + 3 {(x)}^{2} {(4 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.3

使用乘法的交换性质重写。

$4^{0} x^{3} y^{0} + 3 {(x)}^{2} {(4 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 x^{3} y^{0} + 3 {(x)}^{2} {(4 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.5

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} y^{0} + 3 {(x)}^{2} {(4 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{3} \cdot 1 + 3 {(x)}^{2} {(4 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.7

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} + 3 {(x)}^{2} {(4 y)}^{1} + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.8

化简。

$x^{3} + 3 x^{2} (4 y) + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.9

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} + 3 \cdot 4 x^{2} y + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.10

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$x^{3} + 12 x^{2} y + 3 {(x)}^{1} {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.11

化简。

$x^{3} + 12 x^{2} y + 3 x {(4 y)}^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.12

对 $4 y$ 运用乘积法则。

$x^{3} + 12 x^{2} y + 3 x (4^{2} y^{2}) + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.13

使用乘法的交换性质重写。

$x^{3} + 12 x^{2} y + 3 \cdot 4^{2} x y^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.14

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{3} + 12 x^{2} y + 3 \cdot 16 x y^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.15

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$x^{3} + 12 x^{2} y + 48 x y^{2} + 1 {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.16

将 ${(x)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} + 12 x^{2} y + 48 x y^{2} + {(x)}^{0} {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.17

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{3} + 12 x^{2} y + 48 x y^{2} + 1 {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.18

将 ${(4 y)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} + 12 x^{2} y + 48 x y^{2} + {(4 y)}^{3}$

解题步骤 4.19

对 $4 y$ 运用乘积法则。

$x^{3} + 12 x^{2} y + 48 x y^{2} + 4^{3} y^{3}$

解题步骤 4.20

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$x^{3} + 12 x^{2} y + 48 x y^{2} + 64 y^{3}$

初级微积分 示例

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