初级微积分示例

$f (x) = (5 x^{5} + 5) (- 2 x^{5} - 3)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 5 x^{5} + 5$ 且 $g (x) = - 2 x^{5} - 3$ 。

$(5 x^{5} + 5) \frac{d}{d x} [- 2 x^{5} - 3] + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

解题步骤 2

根据加法法则， $- 2 x^{5} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$(5 x^{5} + 5) (\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$(5 x^{5} + 5) (- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$(5 x^{5} + 5) (- 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

解题步骤 3.3

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4} + 0) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

解题步骤 4.2

将 $- 10 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) \frac{d}{d x} [5 x^{5} + 5]$

解题步骤 4.3

根据加法法则， $5 x^{5} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{5}]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (5 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 5.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4} + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 6

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4} + 0)$

解题步骤 6.2

将 $25 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$(5 x^{5} + 5) (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4})$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$5 x^{5} (- 10 x^{4}) + 5 (- 10 x^{4}) + (- 2 x^{5} - 3) (25 x^{4})$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$5 x^{5} (- 10 x^{4}) + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

解题步骤 7.3

合并项。

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解题步骤 7.3.1

将 $- 10$ 乘以 $5$ 。

$- 50 x^{5} x^{4} + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

解题步骤 7.3.2

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

移动 $x^{4}$ 。

$- 50 (x^{4} x^{5}) + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

解题步骤 7.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 50 x^{4 + 5} + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

解题步骤 7.3.2.3

将 $4$ 和 $5$ 相加。

$- 50 x^{9} + 5 (- 10 x^{4}) - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

解题步骤 7.3.3

将 $- 10$ 乘以 $5$ 。

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 2 x^{5} (25 x^{4}) - 3 (25 x^{4})$

解题步骤 7.3.4

将 $25$ 乘以 $- 2$ 。

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{5} x^{4} - 3 (25 x^{4})$

解题步骤 7.3.5

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 7.3.5.1

移动 $x^{4}$ 。

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 (x^{4} x^{5}) - 3 (25 x^{4})$

解题步骤 7.3.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{4 + 5} - 3 (25 x^{4})$

解题步骤 7.3.5.3

将 $4$ 和 $5$ 相加。

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{9} - 3 (25 x^{4})$

解题步骤 7.3.6

将 $25$ 乘以 $- 3$ 。

$- 50 x^{9} - 50 x^{4} - 50 x^{9} - 75 x^{4}$

解题步骤 7.3.7

从 $- 50 x^{9}$ 中减去 $50 x^{9}$ 。

$- 100 x^{9} - 50 x^{4} - 75 x^{4}$

解题步骤 7.3.8

从 $- 50 x^{4}$ 中减去 $75 x^{4}$ 。

$- 100 x^{9} - 125 x^{4}$

初级微积分 示例

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