初级微积分示例

$p (x) = x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$

解题步骤 1

将 $x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} - x^{3} - 2 x - 4 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 2.1.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

${(- 1)}^{4} - {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 4$

解题步骤 2.1.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 - {(- 1)}^{3} - 2 \cdot - 1 - 4$

解题步骤 2.1.1.3.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 - - 1 - 2 \cdot - 1 - 4$

解题步骤 2.1.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 + 1 - 2 \cdot - 1 - 4$

解题步骤 2.1.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 - 2 \cdot - 1 - 4$

解题步骤 2.1.1.3.6

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 + 2 - 4$

解题步骤 2.1.1.3.7

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$4 - 4$

解题步骤 2.1.1.3.8

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$0$

解题步骤 2.1.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{4} - x^{3} - 2 x - 4}{x + 1}$

解题步骤 2.1.1.5

用 $x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$ 除以 $x + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

解题步骤 2.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

解题步骤 2.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

解题步骤 2.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{4} + x^{3}$ 中的所有符号

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$

解题步骤 2.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{3}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$2 x^{3}$

解题步骤 2.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x^{3} - 2 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

解题步骤 2.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

解题步骤 2.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

解题步骤 2.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{2} + 2 x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

解题步骤 2.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

解题步骤 2.1.1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

$4$

解题步骤 2.1.1.5.17

将被除数中的最高阶项 $- 4 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

$4$

解题步骤 2.1.1.5.18

将新的商式项乘以除数。

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$4$
$x$	+	$1$		$x^{4}$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$
					+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
							+	$2 x^{2}$	-	$2 x$
							-	$2 x^{2}$	-	$2 x$
									-	$4 x$	-	$4$
									-	$4 x$	-	$4$

解题步骤 2.1.1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 x - 4$ 中的所有符号

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

解题步骤 2.1.1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x$

$1$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$4 x$

$4$

$4 x$

$4$

$0$

解题步骤 2.1.1.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4$

解题步骤 2.1.1.6

将 $x^{4} - x^{3} - 2 x - 4$ 书写为因数的集合。

$(x + 1) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 4) = 0$

解题步骤 2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 1) ((x^{3} - 2 x^{2}) + 2 x - 4) = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 1) (x^{2} (x - 2) + 2 (x - 2)) = 0$

解题步骤 2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $x - 2$ 来因式分解多项式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.1

通过因式分解出最大公因数 $x - 2$ 来因式分解多项式。

$(x + 1) ((x - 2) (x^{2} + 2)) = 0$

解题步骤 2.1.3.2

去掉多余的括号。

$(x + 1) (x - 2) (x^{2} + 2) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.5

将 $x^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $x^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 2 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x^{2} = - 2$

解题步骤 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

解题步骤 2.5.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.3.1

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

解题步骤 2.5.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (2)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

解题步骤 2.5.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{2}$

解题步骤 2.5.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{2}$

解题步骤 2.5.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{2}$

解题步骤 2.5.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(x + 1) (x - 2) (x^{2} + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 2, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

解题步骤 3

初级微积分 示例

初级微积分示例