初级微积分示例

$g (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$

解题步骤 1

将 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 15, \pm 3, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 2.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 5, \pm 2.5$

解题步骤 2.1.1.3

代入 $- 0.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 0.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.1.3.1

将 $- 0.5$ 代入多项式。

$2 {(- 0.5)}^{3} - 3 {(- 0.5)}^{2} - 32 \cdot - 0.5 - 15$

解题步骤 2.1.1.3.2

对 $- 0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot - 0.125 - 3 {(- 0.5)}^{2} - 32 \cdot - 0.5 - 15$

解题步骤 2.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 0.125$ 。

$- 0.25 - 3 {(- 0.5)}^{2} - 32 \cdot - 0.5 - 15$

解题步骤 2.1.1.3.4

对 $- 0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 0.25 - 3 \cdot 0.25 - 32 \cdot - 0.5 - 15$

解题步骤 2.1.1.3.5

将 $- 3$ 乘以 $0.25$ 。

$- 0.25 - 0.75 - 32 \cdot - 0.5 - 15$

解题步骤 2.1.1.3.6

从 $- 0.25$ 中减去 $0.75$ 。

$- 1 - 32 \cdot - 0.5 - 15$

解题步骤 2.1.1.3.7

将 $- 32$ 乘以 $- 0.5$ 。

$- 1 + 16 - 15$

解题步骤 2.1.1.3.8

将 $- 1$ 和 $16$ 相加。

$15 - 15$

解题步骤 2.1.1.3.9

从 $15$ 中减去 $15$ 。

$0$

解题步骤 2.1.1.4

因为 $- 0.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15}{2 x + 1}$

解题步骤 2.1.1.5

用 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ 除以 $2 x + 1$ 。

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解题步骤 2.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$32 x$

$15$

解题步骤 2.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$

解题步骤 2.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

解题步骤 2.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$

解题步骤 2.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 4 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$

解题步骤 2.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 2.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 x^{2} - 2 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 2.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$

解题步骤 2.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$

解题步骤 2.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 30 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$

解题步骤 2.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$
							-	$30 x$	-	$15$

解题步骤 2.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 30 x - 15$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$
							+	$30 x$	+	$15$

解题步骤 2.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$32 x$	-	$15$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	-	$32 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$30 x$	-	$15$
							+	$30 x$	+	$15$
										$0$

解题步骤 2.1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 2 x - 15$

解题步骤 2.1.1.6

将 $2 x^{3} - 3 x^{2} - 32 x - 15$ 书写为因数的集合。

$(2 x + 1) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

解题步骤 2.1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 15$ ，和为 $- 2$ 。

$- 5, 3$

解题步骤 2.1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(2 x + 1) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

解题步骤 2.1.2.2

去掉多余的括号。

$(2 x + 1) (x - 5) (x + 3) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.3

将 $2 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $2 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

求解 $x$ 的 $2 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x = - 1$

解题步骤 2.3.2.2

将 $2 x = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 $2 x = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 2.5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(2 x + 1) (x - 5) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{1}{2}, 5, - 3$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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