初级微积分示例

$f (x) = \csc (x) + \sqrt{2}$

解题步骤 1

将 $\csc (x) + \sqrt{2}$ 设为等于 $0$ 。

$\csc (x) + \sqrt{2} = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $\sqrt{2}$ 。

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

解题步骤 2.2

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

$arccsc (- \sqrt{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.4

余割函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

解题步骤 2.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.5.1

从 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

解题步骤 2.5.2

得出的角 $\frac{5 π}{4}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 共边。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 2.6

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.7

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.7.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + 2 π$

解题步骤 2.7.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.7.3

合并分数。

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解题步骤 2.7.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 2.7.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 2.7.4

化简分子。

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解题步骤 2.7.4.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 2.7.4.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{7 π}{4}$

解题步骤 2.7.5

列出新角。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 2.8

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

初级微积分 示例

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