初级微积分示例

$y = - \frac{3}{4} x + 5$

解题步骤 1

交换变量。

$x = - \frac{3}{4} y + 5$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $- \frac{3}{4} y + 5 = x$ 。

$- \frac{3}{4} y + 5 = x$

解题步骤 2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1

组合 $y$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$- \frac{y \cdot 3}{4} + 5 = x$

解题步骤 2.2.2

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$- \frac{3 y}{4} + 5 = x$

解题步骤 2.3

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- \frac{3 y}{4} = x - 5$

解题步骤 2.4

等式两边同时乘以 $- \frac{4}{3}$ 。

$- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} (x - 5)$

解题步骤 2.5

化简方程的两边。

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解题步骤 2.5.1

化简左边。

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解题步骤 2.5.1.1

化简 $- \frac{4}{3} (- \frac{3 y}{4})$ 。

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解题步骤 2.5.1.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1.1.1.1

将 $- \frac{4}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 4}{3} (- \frac{3 y}{4}) = - \frac{4}{3} (x - 5)$

解题步骤 2.5.1.1.1.2

将 $- \frac{3 y}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x - 5)$

解题步骤 2.5.1.1.1.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x - 5)$

解题步骤 2.5.1.1.1.4

约去公因数。

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3 y}{4} = - \frac{4}{3} (x - 5)$

解题步骤 2.5.1.1.1.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{3} (- 3 y) = - \frac{4}{3} (x - 5)$

解题步骤 2.5.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1.1.2.1

从 $- 3 y$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} (x - 5)$

解题步骤 2.5.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{3} (3 (- y)) = - \frac{4}{3} (x - 5)$

解题步骤 2.5.1.1.2.3

重写表达式。

$- - y = - \frac{4}{3} (x - 5)$

解题步骤 2.5.1.1.3

乘。

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解题步骤 2.5.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y = - \frac{4}{3} (x - 5)$

解题步骤 2.5.1.1.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = - \frac{4}{3} (x - 5)$

解题步骤 2.5.2

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.1

化简 $- \frac{4}{3} (x - 5)$ 。

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解题步骤 2.5.2.1.1

运用分配律。

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 5$

解题步骤 2.5.2.1.2

组合 $x$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 5$

解题步骤 2.5.2.1.3

乘以 $- \frac{4}{3} \cdot - 5$ 。

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解题步骤 2.5.2.1.3.1

将 $- 5$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 5 (\frac{4}{3})$

解题步骤 2.5.2.1.3.2

组合 $5$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{5 \cdot 4}{3}$

解题步骤 2.5.2.1.3.3

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{20}{3}$

解题步骤 2.5.2.1.4

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}$ 是否为 $f (x) = - \frac{3}{4} x + 5$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5)$ 。

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = - \frac{4 (- \frac{3}{4} x + 5)}{3} + \frac{20}{3}$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 4 (- \frac{3}{4} x + 5) + 20}{3}$

解题步骤 4.2.4

化简每一项。

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解题步骤 4.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.4.1.1

组合 $x$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 4 (- \frac{x \cdot 3}{4} + 5) + 20}{3}$

解题步骤 4.2.4.1.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 4 (- \frac{3 x}{4} + 5) + 20}{3}$

解题步骤 4.2.4.2

运用分配律。

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 4 (- \frac{3 x}{4}) - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

解题步骤 4.2.4.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.3.1

将 $- \frac{3 x}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 4 \frac{- 3 x}{4} - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

解题步骤 4.2.4.3.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{4 (- 1) (\frac{- 3 x}{4}) - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

解题步骤 4.2.4.3.3

约去公因数。

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{- 3 x}{4}) - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

解题步骤 4.2.4.3.4

重写表达式。

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{- 1 (- 3 x) - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

解题步骤 4.2.4.4

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{3 x - 4 \cdot 5 + 20}{3}$

解题步骤 4.2.4.5

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{3 x - 20 + 20}{3}$

解题步骤 4.2.5

化简项。

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解题步骤 4.2.5.1

合并 $3 x - 20 + 20$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.5.1.1

将 $- 20$ 和 $20$ 相加。

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{3 x + 0}{3}$

解题步骤 4.2.5.1.2

将 $3 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{3 x}{3}$

解题步骤 4.2.5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = \frac{3 x}{3}$

解题步骤 4.2.5.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (- \frac{3}{4} x + 5) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3})$ 。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) + 5$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.3.1

运用分配律。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3}) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

解题步骤 4.3.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.1

将 $- \frac{3}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{- 3}{4} \cdot (- \frac{4 x}{3}) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

解题步骤 4.3.3.2.2

将 $- \frac{4 x}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{- 3}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

解题步骤 4.3.3.2.3

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

解题步骤 4.3.3.2.4

约去公因数。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{- 4 x}{3} - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

解题步骤 4.3.3.2.5

重写表达式。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{- 1}{4} \cdot (- 4 x) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

解题步骤 4.3.3.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.3.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- x)) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

解题步骤 4.3.3.3.2

约去公因数。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = \frac{- 1}{4} \cdot (4 (- x)) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

解题步骤 4.3.3.3.3

重写表达式。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = - 1 (- x) - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

解题步骤 4.3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = 1 x - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

解题步骤 4.3.3.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x - \frac{3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

解题步骤 4.3.3.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.6.1

将 $- \frac{3}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{- 3}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

解题步骤 4.3.3.6.2

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{3 (- 1)}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

解题步骤 4.3.3.6.3

约去公因数。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{3 \cdot - 1}{4} \cdot \frac{20}{3} + 5$

解题步骤 4.3.3.6.4

重写表达式。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{- 1}{4} \cdot 20 + 5$

解题步骤 4.3.3.7

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.7.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{- 1}{4} \cdot (4 (5)) + 5$

解题步骤 4.3.3.7.2

约去公因数。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + \frac{- 1}{4} \cdot (4 \cdot 5) + 5$

解题步骤 4.3.3.7.3

重写表达式。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x - 1 \cdot 5 + 5$

解题步骤 4.3.3.8

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x - 5 + 5$

解题步骤 4.3.4

合并 $x - 5 + 5$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $- 5$ 和 $5$ 相加。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x + 0$

解题步骤 4.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (- \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}$ 为 $f (x) = - \frac{3}{4} x + 5$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{4 x}{3} + \frac{20}{3}$

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