初级微积分示例

$y = 3^{x} + 2$

Step 1

交换变量。

$x = 3^{y} + 2$

Step 2

求解 $y$ 。

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将方程重写为 $3^{y} + 2 = x$ 。

$3^{y} + 2 = x$

从等式两边同时减去 $2$ 。

$3^{y} = x - 2$

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3^{y}) = \ln (x - 2)$

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{y})$ 。

$y \ln (3) = \ln (x - 2)$

将 $y \ln (3) = \ln (x - 2)$ 中的每一项除以 $\ln (3)$ 并化简。

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将 $y \ln (3) = \ln (x - 2)$ 中的每一项都除以 $\ln (3)$ 。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

化简左边。

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约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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约去公因数。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

Step 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ 是否为 $f (x) = 3^{x} + 2$ 的反函数。

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要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (3^{x} + 2)$ 。

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln ((3^{x} + 2) - 2)}{\ln (3)}$

合并 $3^{x} + 2 - 2$ 中相反的项。

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从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x} + 0)}{\ln (3)}$

将 $3^{x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{x})$ 。

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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约去公因数。

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (3^{x} + 2) = x$

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)})$ 。

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}} + 2$

化简每一项。

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使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x - 2)} + 2$

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x - 2 + 2$

合并 $x - 2 + 2$ 中相反的项。

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将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x + 0$

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}) = x$

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$ 为 $f (x) = 3^{x} + 2$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 2)}{\ln (3)}$

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