初级微积分示例

$\sin (2 θ) + \sin (θ) = 0$

解题步骤 1

使用正弦倍角公式。

$2 \sin (θ) \cos (θ) + \sin (θ) = 0$

解题步骤 2

从 $2 \sin (θ) \cos (θ) + \sin (θ)$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $2 \sin (θ) \cos (θ)$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

$\sin (θ) (2 \cos (θ)) + \sin (θ) = 0$

解题步骤 2.2

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) (2 \cos (θ)) + \sin (θ) = 0$

解题步骤 2.3

从 $\sin^{1} (θ)$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

$\sin (θ) (2 \cos (θ)) + \sin (θ) \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.4

从 $\sin (θ) (2 \cos (θ)) + \sin (θ) \cdot 1$ 中分解出因数 $\sin (θ)$ 。

$\sin (θ) (2 \cos (θ) + 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (θ) = 0$

$2 \cos (θ) + 1 = 0$

解题步骤 4

将 $\sin (θ)$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\sin (θ)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (θ) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $θ$ 的 $\sin (θ) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$θ = 0$

解题步骤 4.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$θ = π - 0$

解题步骤 4.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$θ = π$

解题步骤 4.2.5

求 $\sin (θ)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.6

$\sin (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $2 \cos (θ) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.1

将 $2 \cos (θ) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \cos (θ) + 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $θ$ 的 $2 \cos (θ) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \cos (θ) = - 1$

解题步骤 5.2.2

将 $2 \cos (θ) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $2 \cos (θ) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $\cos (θ)$ 除以 $1$ 。

$\cos (θ) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (θ) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$θ = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.4

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$θ = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.5

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$θ = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6

化简 $2 π - \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 5.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.6.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$θ = \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$θ = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 5.2.7

求 $\cos (θ)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.8

$\cos (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $\sin (θ) (2 \cos (θ) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$θ = 2 π n, π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

将 $2 π n$ 和 $π + 2 π n$ 合并为 $π n$ 。

$θ = π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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