初级微积分示例

$10 \sqrt{3} = 20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$

解题步骤 1

将方程重写为 $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ 。

$20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$

解题步骤 2

将 $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ 中的每一项除以 $20$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将 $20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = 10 \sqrt{3}$ 中的每一项都除以 $20$ 。

$\frac{20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})}{20} = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $20$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{20 \sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})}{20} = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ 除以 $1$ 。

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{20}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

约去 $10$ 和 $20$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1

从 $10 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $10$ 。

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 (\sqrt{3})}{20}$

解题步骤 2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

从 $20$ 中分解出因数 $10$ 。

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{10 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.1.2.2

约去公因数。

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{10 \sqrt{3}}{10 \cdot 2}$

解题步骤 2.3.1.2.3

重写表达式。

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $t$ 。

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 4

化简右边。

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解题步骤 4.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π}{3}$

解题步骤 5

将所有不包含 $t$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} + \frac{π}{2}$

解题步骤 5.2

要将 $\frac{π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 5.3

要将 $\frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π t}{4} = \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 5.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 5.4.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 5.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 5.4.3

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{6}$

解题步骤 5.5

在公分母上合并分子。

$\frac{π t}{4} = \frac{π \cdot 2 + π \cdot 3}{6}$

解题步骤 5.6

化简分子。

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解题步骤 5.6.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 \cdot π + π \cdot 3}{6}$

解题步骤 5.6.2

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π + 3 \cdot π}{6}$

解题步骤 5.6.3

将 $2 π$ 和 $3 π$ 相加。

$\frac{π t}{4} = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 6

等式两边同时乘以 $\frac{4}{π}$ 。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

解题步骤 7

化简方程的两边。

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解题步骤 7.1

化简左边。

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解题步骤 7.1.1

化简 $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

解题步骤 7.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

解题步骤 7.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.1

从 $π t$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

解题步骤 7.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

解题步骤 7.1.1.2.3

重写表达式。

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

化简 $\frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{5 π}{6}$

解题步骤 7.2.1.1.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.1.1.3

约去公因数。

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 7.2.1.1.4

重写表达式。

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

解题步骤 7.2.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.2.1

从 $5 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

解题步骤 7.2.1.2.2

约去公因数。

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

解题步骤 7.2.1.2.3

重写表达式。

$t = 2 (\frac{5}{3})$

解题步骤 7.2.1.3

组合 $2$ 和 $\frac{5}{3}$ 。

$t = \frac{2 \cdot 5}{3}$

解题步骤 7.2.1.4

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$t = \frac{10}{3}$

解题步骤 8

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = π - \frac{π}{3}$

解题步骤 9

求解 $t$ 。

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解题步骤 9.1

化简 $π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 9.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 9.1.2

合并分数。

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解题步骤 9.1.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 9.1.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 9.1.3

化简分子。

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解题步骤 9.1.3.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

解题步骤 9.1.3.2

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{π t}{4} - \frac{π}{2} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 9.2

将所有不包含 $t$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} + \frac{π}{2}$

解题步骤 9.2.2

要将 $\frac{2 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 9.2.3

要将 $\frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 9.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 9.2.4.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 9.2.4.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 9.2.4.3

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.2.4.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{6} + \frac{π \cdot 3}{6}$

解题步骤 9.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{π t}{4} = \frac{2 π \cdot 2 + π \cdot 3}{6}$

解题步骤 9.2.6

化简分子。

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解题步骤 9.2.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{π t}{4} = \frac{4 π + π \cdot 3}{6}$

解题步骤 9.2.6.2

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{π t}{4} = \frac{4 π + 3 \cdot π}{6}$

解题步骤 9.2.6.3

将 $4 π$ 和 $3 π$ 相加。

$\frac{π t}{4} = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 9.3

等式两边同时乘以 $\frac{4}{π}$ 。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

解题步骤 9.4

化简方程的两边。

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解题步骤 9.4.1

化简左边。

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解题步骤 9.4.1.1

化简 $\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4}$ 。

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解题步骤 9.4.1.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π t}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

解题步骤 9.4.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

解题步骤 9.4.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.1.1.2.1

从 $π t$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

解题步骤 9.4.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

解题步骤 9.4.1.1.2.3

重写表达式。

$t = \frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

解题步骤 9.4.2

化简右边。

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解题步骤 9.4.2.1

化简 $\frac{4}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$ 。

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解题步骤 9.4.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.2.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$t = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{7 π}{6}$

解题步骤 9.4.2.1.1.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.4.2.1.1.3

约去公因数。

$t = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{7 π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 9.4.2.1.1.4

重写表达式。

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{7 π}{3}$

解题步骤 9.4.2.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.2.1.2.1

从 $7 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 7}{3}$

解题步骤 9.4.2.1.2.2

约去公因数。

$t = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 7}{3}$

解题步骤 9.4.2.1.2.3

重写表达式。

$t = 2 (\frac{7}{3})$

解题步骤 9.4.2.1.3

组合 $2$ 和 $\frac{7}{3}$ 。

$t = \frac{2 \cdot 7}{3}$

解题步骤 9.4.2.1.4

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$t = \frac{14}{3}$

解题步骤 10

求 $\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ 的周期。

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解题步骤 10.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.2

使用周期公式中的 $\frac{π}{4}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

解题步骤 10.3

$\frac{π}{4}$ 约为 $0.78539816$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

解题步骤 10.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \frac{4}{π}$

解题步骤 10.5

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 10.5.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

解题步骤 10.5.2

约去公因数。

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

解题步骤 10.5.3

重写表达式。

$2 \cdot 4$

解题步骤 10.6

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8$

解题步骤 11

$\sin (\frac{π t}{4} - \frac{π}{2})$ 函数的周期为 $8$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $8$ 弧度将重复出现。

$t = \frac{10}{3} + 8 n, \frac{14}{3} + 8 n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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