初级微积分示例

$\frac{x^{2} + 21 x + 18}{x^{3} + 3 x^{2}}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

从 $x^{3} + 3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + 21 x + 18}{x^{2} x + 3 x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + 21 x + 18}{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3

从 $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + 21 x + 18}{x^{2} (x + 3)}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $C$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 3}$

解题步骤 1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x^{2} (x + 3)$ 。

$\frac{(x^{2} + 21 x + 18) (x^{2} (x + 3))}{x^{2} (x + 3)} = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.4

约去 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} + 21 x + 18) (x^{2} (x + 3))}{x^{2} (x + 3)} = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{(x^{2} + 21 x + 18) (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.5

约去 $x + 3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} + 21 x + 18) (x + 3)}{x + 3} = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.5.2

用 $x^{2} + 21 x + 18$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 21 x + 18 = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.6

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.1.1

约去公因数。

$x^{2} + 21 x + 18 = \frac{A (x^{2} (x + 3))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.6.1.2

用 $A (x + 3)$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 21 x + 18 = A (x + 3) + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.6.2

运用分配律。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + A \cdot 3 + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.6.3

将 $3$ 移到 $A$ 的左侧。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + 3 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x + 3))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.6.4

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.4.1

从 $B (x^{2} (x + 3))$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + 3 A + \frac{x (B (x (x + 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.6.4.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + 3 A + \frac{x (B (x (x + 3)))}{x} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.6.4.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + 3 A + \frac{x (B (x (x + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.6.4.2.3

约去公因数。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + 3 A + \frac{x (B (x (x + 3)))}{x \cdot 1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.6.4.2.4

重写表达式。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + 3 A + \frac{B (x (x + 3))}{1} + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.6.4.2.5

用 $B (x (x + 3))$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + 3 A + B (x (x + 3)) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.6.5

运用分配律。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + 3 A + B (x \cdot x + x \cdot 3) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.6.6

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + 3 A + B (x^{2} + x \cdot 3) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.6.7

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + 3 A + B (x^{2} + 3 \cdot x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.6.8

运用分配律。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + 3 A + B x^{2} + B (3 x) + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.6.9

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 B x + \frac{(C) (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.6.10

约去 $x + 3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.6.10.1

约去公因数。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 B x + \frac{C (x^{2} (x + 3))}{x + 3}$

解题步骤 1.6.10.2

用 $(C) (x^{2})$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 B x + (C) (x^{2})$

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 B x + C x^{2}$

解题步骤 1.7

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1

移动 $B$ 。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + 3 A + B x^{2} + 3 x B + C x^{2}$

解题步骤 1.7.2

移动 $3 A$ 。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + B x^{2} + 3 x B + C x^{2} + 3 A$

解题步骤 1.7.3

移动 $3 x B$ 。

$x^{2} + 21 x + 18 = A x + B x^{2} + C x^{2} + 3 x B + 3 A$

解题步骤 1.7.4

移动 $A x$ 。

$x^{2} + 21 x + 18 = B x^{2} + C x^{2} + A x + 3 x B + 3 A$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = B + C$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$21 = A + 3 B$

解题步骤 2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$18 = 3 A$

解题步骤 2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = B + C$

$21 = A + 3 B$

$18 = 3 A$

$1 = B + C$

$21 = A + 3 B$

$18 = 3 A$

解题步骤 3

求解方程组。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

在 $18 = 3 A$ 中求解 $A$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $3 A = 18$ 。

$3 A = 18$

$1 = B + C$

$21 = A + 3 B$

解题步骤 3.1.2

将 $3 A = 18$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.1

将 $3 A = 18$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 A}{3} = \frac{18}{3}$

$1 = B + C$

$21 = A + 3 B$

解题步骤 3.1.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 A}{3} = \frac{18}{3}$

$1 = B + C$

$21 = A + 3 B$

解题步骤 3.1.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{18}{3}$

$1 = B + C$

$21 = A + 3 B$

$A = \frac{18}{3}$

$1 = B + C$

$21 = A + 3 B$

$A = \frac{18}{3}$

$1 = B + C$

$21 = A + 3 B$

解题步骤 3.1.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.2.3.1

用 $18$ 除以 $3$ 。

$A = 6$

$1 = B + C$

$21 = A + 3 B$

$A = 6$

$1 = B + C$

$21 = A + 3 B$

$A = 6$

$1 = B + C$

$21 = A + 3 B$

$A = 6$

$1 = B + C$

$21 = A + 3 B$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $6$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

使用 $6$ 替换 $21 = A + 3 B$ 中所有出现的 $A$ .

$21 = (6) + 3 B$

$A = 6$

$1 = B + C$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

去掉圆括号。

$21 = 6 + 3 B$

$A = 6$

$1 = B + C$

$21 = 6 + 3 B$

$A = 6$

$1 = B + C$

$21 = 6 + 3 B$

$A = 6$

$1 = B + C$

解题步骤 3.3

在 $21 = 6 + 3 B$ 中求解 $B$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $6 + 3 B = 21$ 。

$6 + 3 B = 21$

$A = 6$

$1 = B + C$

解题步骤 3.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$3 B = 21 - 6$

$A = 6$

$1 = B + C$

解题步骤 3.3.2.2

从 $21$ 中减去 $6$ 。

$3 B = 15$

$A = 6$

$1 = B + C$

$3 B = 15$

$A = 6$

$1 = B + C$

解题步骤 3.3.3

将 $3 B = 15$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1

将 $3 B = 15$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 B}{3} = \frac{15}{3}$

$A = 6$

$1 = B + C$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 B}{3} = \frac{15}{3}$

$A = 6$

$1 = B + C$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{15}{3}$

$A = 6$

$1 = B + C$

$B = \frac{15}{3}$

$A = 6$

$1 = B + C$

$B = \frac{15}{3}$

$A = 6$

$1 = B + C$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.3.1

用 $15$ 除以 $3$ 。

$B = 5$

$A = 6$

$1 = B + C$

$B = 5$

$A = 6$

$1 = B + C$

$B = 5$

$A = 6$

$1 = B + C$

$B = 5$

$A = 6$

$1 = B + C$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

使用 $5$ 替换 $1 = B + C$ 中所有出现的 $B$ .

$1 = (5) + C$

$B = 5$

$A = 6$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

去掉圆括号。

$1 = 5 + C$

$B = 5$

$A = 6$

$1 = 5 + C$

$B = 5$

$A = 6$

$1 = 5 + C$

$B = 5$

$A = 6$

解题步骤 3.5

在 $1 = 5 + C$ 中求解 $C$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $5 + C = 1$ 。

$5 + C = 1$

$B = 5$

$A = 6$

解题步骤 3.5.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$C = 1 - 5$

$B = 5$

$A = 6$

解题步骤 3.5.2.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$C = - 4$

$B = 5$

$A = 6$

$C = - 4$

$B = 5$

$A = 6$

$C = - 4$

$B = 5$

$A = 6$

解题步骤 3.6

求解方程组。

$C = - 4 B = 5 A = 6$

解题步骤 3.7

列出所有解。

$C = - 4, B = 5, A = 6$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C}{x + 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{6}{x^{2}} + \frac{5}{x} + \frac{- 4}{x + 3}$

初级微积分 示例

初级微积分示例