初级微积分示例

$x^{2} + y^{2} = 4 x$ , $x = y^{2}$

解题步骤 1

将每个方程中所有出现的 $x$ 替换成 $y^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

使用 $y^{2}$ 替换 $x^{2} + y^{2} = 4 x$ 中所有出现的 $x$ .

${(y^{2})}^{2} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

解题步骤 1.2

化简 ${(y^{2})}^{2} + y^{2} = 4 (y^{2})$ 。

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解题步骤 1.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.1.1

将 ${(y^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{2 \cdot 2} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

解题步骤 1.2.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y^{4} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 (y^{2})$

$x = y^{2}$

解题步骤 1.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $4$ 乘以 $y^{2}$ 。

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

$y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$

$x = y^{2}$

解题步骤 2

在 $y^{4} + y^{2} = 4 y^{2}$ 中求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将所有包含 $y$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 2.1.1

从等式两边同时减去 $4 y^{2}$ 。

$y^{4} + y^{2} - 4 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.1.2

从 $y^{2}$ 中减去 $4 y^{2}$ 。

$y^{4} - 3 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

$y^{4} - 3 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

将 $y^{4}$ 重写为 ${(y^{2})}^{2}$ 。

${(y^{2})}^{2} - 3 y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.2.2

使 $u = y^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $y^{2}$ 。

$u^{2} - 3 u = 0$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.2.3

从 $u^{2} - 3 u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

从 $u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u - 3 u = 0$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.2.3.2

从 $- 3 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u + u \cdot - 3 = 0$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.2.3.3

从 $u \cdot u + u \cdot - 3$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (u - 3) = 0$

$x = y^{2}$

$u (u - 3) = 0$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.2.4

使用 $y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y^{2} (y^{2} - 3) = 0$

$x = y^{2}$

$y^{2} (y^{2} - 3) = 0$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$y^{2} = 0$

$y^{2} - 3 = 0$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.4

将 $y^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $y^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$y^{2} = 0$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.4.2

求解 $y$ 的 $y^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0}$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = \pm 0$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$y = 0$

$x = y^{2}$

$y = 0$

$x = y^{2}$

$y = 0$

$x = y^{2}$

$y = 0$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.5

将 $y^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $y^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$y^{2} - 3 = 0$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.5.2

求解 $y$ 的 $y^{2} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$y^{2} = 3$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.5.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.5.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.5.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.5.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $y^{2} (y^{2} - 3) = 0$ 成立的所有值。

$y = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

$y = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

$x = y^{2}$

解题步骤 3

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $0$ 替换 $x = y^{2}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = {(0)}^{2}$

$y = 0$

解题步骤 3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

解题步骤 4

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $\sqrt{3}$ 。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt{3}$ 替换 $x = y^{2}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = {(\sqrt{3})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

解题步骤 4.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.1

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.4.1

约去公因数。

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.1.4.2

重写表达式。

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.1.5

计算指数。

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

解题步骤 5

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 5.1

使用 $0$ 替换 $x = y^{2}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = {(0)}^{2}$

$y = 0$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

$x = 0$

$y = 0$

解题步骤 6

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $\sqrt{3}$ 。

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解题步骤 6.1

使用 $\sqrt{3}$ 替换 $x = y^{2}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = {(\sqrt{3})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = \sqrt{3}$

解题步骤 6.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = \sqrt{3}$

解题步骤 6.2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

解题步骤 6.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.4.1

约去公因数。

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = \sqrt{3}$

解题步骤 6.2.1.4.2

重写表达式。

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

解题步骤 6.2.1.5

计算指数。

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = \sqrt{3}$

解题步骤 7

将每个方程中所有出现的 $y$ 替换成 $- \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 7.1

使用 $- \sqrt{3}$ 替换 $x = y^{2}$ 中所有出现的 $y$ .

$x = {(- \sqrt{3})}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

化简 ${(- \sqrt{3})}^{2}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

化简表达式。

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解题步骤 7.2.1.1.1

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$x = {(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

解题步骤 7.2.1.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = 1 {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

解题步骤 7.2.1.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x = {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

$x = {\sqrt{3}}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

解题步骤 7.2.1.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 7.2.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

$y = - \sqrt{3}$

解题步骤 7.2.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

$y = - \sqrt{3}$

解题步骤 7.2.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = - \sqrt{3}$

解题步骤 7.2.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.2.4.1

约去公因数。

$x = 3^{\frac{2}{2}}$

$y = - \sqrt{3}$

解题步骤 7.2.1.2.4.2

重写表达式。

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

解题步骤 7.2.1.2.5

计算指数。

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

$x = 3$

$y = - \sqrt{3}$

解题步骤 8

方程组的解是一组完整的有序对，并且它们都是有效解。

$(0, 0)$

$(3, \sqrt{3})$

$(3, - \sqrt{3})$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

点形式：

$(0, 0), (3, \sqrt{3}), (3, - \sqrt{3})$

方程形式：

$x = 0, y = 0$

$x = 3, y = \sqrt{3}$

$x = 3, y = - \sqrt{3}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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