初级微积分示例

$x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y + 16 = 0$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$

解题步骤 1.2

对 $x^{2} - 8 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

解题步骤 1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2

约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 4}{1}$

解题步骤 1.2.3.2.2.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$d = - 4$

解题步骤 1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{64}{4}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

用 $64$ 除以 $4$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 16$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$e = 0 - 16$

解题步骤 1.2.4.2.2

从 $0$ 中减去 $16$ 。

$e = - 16$

解题步骤 1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x - 4)}^{2} - 16$ 。

${(x - 4)}^{2} - 16$

解题步骤 1.3

在方程 $x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$ 中，用 ${(x - 4)}^{2} - 16$ 代替 $x^{2} - 8 x$ 。

${(x - 4)}^{2} - 16 - 3 y^{2} + 12 y = - 16$

解题步骤 1.4

通过在等式两边同时加上 $16$ 的方法来将 $- 16$ 移到等式右边。

${(x - 4)}^{2} - 3 y^{2} + 12 y = - 16 + 16$

解题步骤 1.5

对 $- 3 y^{2} + 12 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 3$

$b = 12$

$c = 0$

解题步骤 1.5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{12}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 1.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.2.1

约去 $12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot - 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 3)}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 1.5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{6}{- 3}$

解题步骤 1.5.3.2.2

约去 $6$ 和 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.2.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$d = \frac{3 (2)}{- 3}$

解题步骤 1.5.3.2.2.2

移动 $\frac{2}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 2$

解题步骤 1.5.3.2.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$d = - 2$

解题步骤 1.5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 3}$

解题步骤 1.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.4.2.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

解题步骤 1.5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$e = 0 - \frac{144}{- 12}$

解题步骤 1.5.4.2.1.3

用 $144$ 除以 $- 12$ 。

$e = 0 - - 12$

解题步骤 1.5.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$e = 0 + 12$

解题步骤 1.5.4.2.2

将 $0$ 和 $12$ 相加。

$e = 12$

解题步骤 1.5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$ 。

$- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$

解题步骤 1.6

在方程 $x^{2} - 3 y^{2} - 8 x + 12 y = - 16$ 中，用 $- 3 {(y - 2)}^{2} + 12$ 代替 $- 3 y^{2} + 12 y$ 。

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} + 12 = - 16 + 16$

解题步骤 1.7

通过在等式两边同时加上 $12$ 的方法来将 $12$ 移到等式右边。

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = - 16 + 16 - 12$

解题步骤 1.8

化简 $- 16 + 16 - 12$ 。

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解题步骤 1.8.1

将 $- 16$ 和 $16$ 相加。

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = 0 - 12$

解题步骤 1.8.2

从 $0$ 中减去 $12$ 。

${(x - 4)}^{2} - 3 {(y - 2)}^{2} = - 12$

解题步骤 1.9

反转方程的每一项，使其右边的项为正。

$- {(x - 4)}^{2} + 3 {(y - 2)}^{2} = 12$

解题步骤 1.10

将每一项除以 $12$ 以使方程右边等于一。

$- \frac{{(x - 4)}^{2}}{12} + \frac{3 {(y - 2)}^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

解题步骤 1.11

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{12} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 2$

$h = 4$

解题步骤 4

双曲线的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(4, 2)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.2

对 $2 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.3.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}$

解题步骤 5.3.2.5

计算指数。

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

解题步骤 5.3.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{4 + 12}$

解题步骤 5.3.3.2

将 $4$ 和 $12$ 相加。

$\sqrt{16}$

解题步骤 5.3.3.3

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\sqrt{4^{2}}$

解题步骤 5.3.3.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$4$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

双曲线的第一个顶点可通过 $k$ 加上 $a$ 求得。

$(h, k + a)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(4, 4)$

解题步骤 6.3

双曲线的第二个顶点可通过从 $k$ 中减去 $a$ 求得。

$(h, k - a)$

解题步骤 6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(4, 0)$

解题步骤 6.5

双曲线的顶点符合 $(h, k \pm a)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(4, 4), (4, 0)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $k$ 求得。

$(h, k + c)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(4, 6)$

解题步骤 7.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $k$ 中减去 $c$ 求得。

$(h, k - c)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(4, - 2)$

解题步骤 7.5

双曲线的焦点遵循 $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(4, 6), (4, - 2)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

化简分子。

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解题步骤 8.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.2

对 $2 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 8.3.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.4.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.4.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.4.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2}$

解题步骤 8.3.1.5

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\sqrt{4 + 12}}{2}$

解题步骤 8.3.1.6

将 $4$ 和 $12$ 相加。

$\frac{\sqrt{16}}{2}$

解题步骤 8.3.1.7

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

解题步骤 8.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{4}{2}$

解题步骤 8.3.2

用 $4$ 除以 $2$ 。

$2$

解题步骤 9

求焦点参数。

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解题步骤 9.1

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

解题步骤 9.2

将 $b$ 和 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1.1

从 $2 {\sqrt{3}}^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{2})}{4}$

解题步骤 9.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.3.1.2.2

约去公因数。

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.3.1.2.3

重写表达式。

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

解题步骤 9.3.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 9.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

解题步骤 9.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

解题步骤 9.3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

解题步骤 9.3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.4.1

约去公因数。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

解题步骤 9.3.2.4.2

重写表达式。

$\frac{3^{1}}{2}$

解题步骤 9.3.2.5

计算指数。

$\frac{3}{2}$

解题步骤 10

因为双曲线为上下开口，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ 形式。

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

解题步骤 11

化简求第一条渐近线。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

解题步骤 11.2

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - 4) + 2$

解题步骤 11.2.2

运用分配律。

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

解题步骤 11.2.3

组合 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

解题步骤 11.2.4

组合 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 和 $- 4$ 。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot - 4}{3} + 2$

解题步骤 11.2.5

化简每一项。

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解题步骤 11.2.5.1

将 $- 4$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3} + 2$

解题步骤 11.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

解题步骤 12

化简求第二条渐近线。

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解题步骤 12.1

去掉圆括号。

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

解题步骤 12.2

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (x - 4) + 2$

解题步骤 12.2.2

运用分配律。

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

解题步骤 12.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4 + 2$

解题步骤 12.2.4

乘以 $- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot - 4$ 。

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解题步骤 12.2.4.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + 4 \frac{\sqrt{3}}{3} + 2$

解题步骤 12.2.4.2

组合 $4$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

解题步骤 13

该双曲线有两条渐近线。

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

解题步骤 14

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点： $(4, 2)$

顶点： $(4, 4), (4, 0)$

焦点： $(4, 6), (4, - 2)$

离心率： $2$

焦点参数： $\frac{3}{2}$

渐近线： $y = \frac{\sqrt{3} x}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$ ， $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2$

解题步骤 15

初级微积分 示例

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