初级微积分示例

${(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i)}^{3}$

解题步骤 1

组合 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $i$ 。

${(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 2

使用二项式定理。

${(\frac{1}{2})}^{3} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{8} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.4

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{8} + 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.5

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{8} + 3 \frac{1}{2^{2}} \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{8} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.7

组合 $3$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{8} + \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.8

乘以 $\frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3} i}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.8.1

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ 。

$\frac{1}{8} + \frac{3 (\sqrt{3} i)}{4 \cdot 2} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.8.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{8} + \frac{3 (\sqrt{3} i)}{8} + 3 (\frac{1}{2}) {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.9

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.10

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.10.1

对 $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{{(\sqrt{3} i)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.10.2

对 $\sqrt{3} i$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2} i^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.11

合并。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.12

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.12.1

将 $2$ 乘以 $2^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.12.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.12.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{1 + 2}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.12.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2})}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.13

化简分子。

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解题步骤 3.1.13.1

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.1.13.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.13.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.13.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.13.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.13.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.13.1.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3^{1} i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.13.1.5

计算指数。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3 i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.13.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{3 \cdot 3 \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.13.3

合并指数。

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解题步骤 3.1.13.3.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{9 \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.13.3.2

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{- 9}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.14

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} + \frac{- 9}{8} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.15

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + {(\frac{\sqrt{3} i}{2})}^{3}$

解题步骤 3.1.16

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.1.16.1

对 $\frac{\sqrt{3} i}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{{(\sqrt{3} i)}^{3}}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.16.2

对 $\sqrt{3} i$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{{\sqrt{3}}^{3} i^{3}}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.17

化简分子。

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解题步骤 3.1.17.1

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{3^{3}} i^{3}}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.17.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{27} i^{3}}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.17.3

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.1.17.3.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{9 (3)} i^{3}}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.17.3.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.17.4

从根式下提出各项。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i^{3}}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.17.5

因式分解出 $i^{2}$ 。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.17.6

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.17.7

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{3 \sqrt{3} \cdot - 1 i}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.17.8

合并指数。

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解题步骤 3.1.17.8.1

提取负因数。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- (3 \sqrt{3} i)}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.17.8.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 (\sqrt{3} i)}{2^{3}}$

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3} i}{2^{3}}$

解题步骤 3.1.18

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} + \frac{- 3 \sqrt{3} i}{8}$

解题步骤 3.1.19

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{8} + \frac{3 \sqrt{3} i}{8} - \frac{9}{8} - \frac{3 \sqrt{3} i}{8}$

解题步骤 3.2

化简项。

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解题步骤 3.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + 3 \sqrt{3} i - 9 - 3 \sqrt{3} i}{8}$

解题步骤 3.2.2

从 $1$ 中减去 $9$ 。

$\frac{3 \sqrt{3} i - 8 - 3 \sqrt{3} i}{8}$

解题步骤 3.2.3

从 $3 \sqrt{3} i$ 中减去 $3 \sqrt{3} i$ 。

$\frac{0 - 8}{8}$

解题步骤 3.2.4

化简表达式。

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解题步骤 3.2.4.1

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$\frac{- 8}{8}$

解题步骤 3.2.4.2

用 $- 8$ 除以 $8$ 。

$- 1$

初级微积分 示例

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