初级微积分示例

$\ln (\frac{x - 1}{x}) + \ln (\frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

解题步骤 1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}) - \ln (x^{2} - 1)$

解题步骤 2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x} \cdot \frac{x}{x + 1}}{x^{2} - 1})$

解题步骤 3

将 $\frac{x - 1}{x}$ 乘以 $\frac{x}{x + 1}$ 。

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1})$

解题步骤 4

化简分母。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{x^{2} - 1^{2}})$

解题步骤 4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

解题步骤 5

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}$ 。

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解题步骤 5.1

约去公因数。

$\ln (\frac{\frac{(x - 1) x}{x (x + 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

解题步骤 5.2

重写表达式。

$\ln (\frac{\frac{x - 1}{x + 1}}{(x + 1) (x - 1)})$

解题步骤 6

将分子乘以分母的倒数。

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)})$

解题步骤 7

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

从 $(x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

解题步骤 7.2

约去公因数。

$\ln (\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{1}{(x - 1) (x + 1)})$

解题步骤 7.3

重写表达式。

$\ln (\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1})$

解题步骤 8

将 $\frac{1}{x + 1}$ 乘以 $\frac{1}{x + 1}$ 。

$\ln (\frac{1}{(x + 1) (x + 1)})$

解题步骤 9

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)})$

解题步骤 10

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}})$

解题步骤 11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}})$

解题步骤 12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\ln (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}})$

初级微积分 示例

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