初级微积分示例

$x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2 = 0$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

${(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

一的任意次幂都为一。

$1 - 5 {(1)}^{3} + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

解题步骤 4.1.2

一的任意次幂都为一。

$1 - 5 \cdot 1 + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

解题步骤 4.1.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$1 - 5 + 9 {(1)}^{2} - 7 \cdot 1 + 2$

解题步骤 4.1.4

一的任意次幂都为一。

$1 - 5 + 9 \cdot 1 - 7 \cdot 1 + 2$

解题步骤 4.1.5

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$1 - 5 + 9 - 7 \cdot 1 + 2$

解题步骤 4.1.6

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$1 - 5 + 9 - 7 + 2$

解题步骤 4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.1

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$- 4 + 9 - 7 + 2$

解题步骤 4.2.2

将 $- 4$ 和 $9$ 相加。

$5 - 7 + 2$

解题步骤 4.2.3

从 $5$ 中减去 $7$ 。

$- 2 + 2$

解题步骤 4.2.4

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$0$

解题步骤 5

因为 $1$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2}{x - 1}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$

解题步骤 6.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$

	$1$

解题步骤 6.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(1)$ 的结果置于被除数 $(- 5)$ 的下一项下方。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$
	$1$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$
	$1$	$- 4$

解题步骤 6.5

将结果 $(- 4)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(- 4)$ 的结果置于被除数 $(9)$ 的下一项下方。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$5$

解题步骤 6.7

将结果 $(5)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(5)$ 的结果置于被除数 $(- 7)$ 的下一项下方。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$
	$1$	$- 4$	$5$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$

解题步骤 6.9

将结果 $(- 2)$ 中的最新项乘以除数 $(1)$ 并将 $(- 2)$ 的结果置于被除数 $(2)$ 的下一项下方。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$

解题步骤 6.10

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$	$1$	$- 5$	$9$	$- 7$	$2$
		$1$	$- 4$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 4$	$5$	$- 2$	$0$

解题步骤 6.11

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (5) x - 2$

解题步骤 6.12

化简商多项式。

$x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$

解题步骤 7

求解方程以求出所有其余根。

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解题步骤 7.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 7.1.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

解题步骤 7.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2$

解题步骤 7.1.1.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 7.1.1.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 2$

解题步骤 7.1.1.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$1 - 4 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 2$

解题步骤 7.1.1.3.3

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 - 4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 2$

解题步骤 7.1.1.3.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$1 - 4 + 5 \cdot 1 - 2$

解题步骤 7.1.1.3.5

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- 3 + 5 \cdot 1 - 2$

解题步骤 7.1.1.3.6

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$- 3 + 5 - 2$

解题步骤 7.1.1.3.7

将 $- 3$ 和 $5$ 相加。

$2 - 2$

解题步骤 7.1.1.3.8

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$0$

解题步骤 7.1.1.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2}{x - 1}$

解题步骤 7.1.1.5

用 $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 7.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x$

$2$

解题步骤 7.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$

解题步骤 7.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 7.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 7.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

解题步骤 7.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$

解题步骤 7.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 3 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$

解题步骤 7.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 7.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x^{2} + 3 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 7.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$

解题步骤 7.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$

解题步骤 7.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$

解题步骤 7.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

解题步骤 7.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x - 2$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

解题步骤 7.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$5 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

解题步骤 7.1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 3 x + 2$

解题步骤 7.1.1.6

将 $x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2$ 书写为因数的集合。

$(x - 1) (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

解题步骤 7.1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.1.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 7.1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 1) ((x - 2) (x - 1)) = 0$

解题步骤 7.1.2.2

去掉多余的括号。

$(x - 1) (x - 2) (x - 1) = 0$

解题步骤 7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 7.3

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 7.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 7.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 7.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 7.5

最终解为使 $(x - 1) (x - 2) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, 2$

解题步骤 8

多项式可写成一组线性因式。

$(x - 1) (x - 2)$

解题步骤 9

这些是多项式 $x^{4} - 5 x^{3} + 9 x^{2} - 7 x + 2$ 的根（零点）。

$x = 1, 2$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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