初级微积分示例

$\frac{4 x - 5}{x {(2 x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{D x + F}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x {(2 x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$\frac{(4 x - 5) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{x {(2 x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{(4 x - 5) ({(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5

约去 ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{(4 x - 5) {(2 x^{2} + 1)}^{2}}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.5.2

用 $4 x - 5$ 除以 $1$ 。

$4 x - 5 = \frac{A (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1.1

约去公因数。

$4 x - 5 = \frac{A (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.1.2

用 $A ({(2 x^{2} + 1)}^{2})$ 除以 $1$ 。

$4 x - 5 = A ({(2 x^{2} + 1)}^{2}) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.2

将 ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ 。

$4 x - 5 = A ((2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 1.6.3.1

运用分配律。

$4 x - 5 = A (2 x^{2} (2 x^{2} + 1) + 1 (2 x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.3.2

运用分配律。

$4 x - 5 = A (2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.3.3

运用分配律。

$4 x - 5 = A (2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.6.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 x - 5 = A (2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.4.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.6.4.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$4 x - 5 = A (2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x - 5 = A (2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.4.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$4 x - 5 = A (2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.4.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x - 5 = A (4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.4.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 x - 5 = A (4 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.4.1.5

将 $2 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$4 x - 5 = A (4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.4.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$4 x - 5 = A (4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.4.2

将 $2 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$4 x - 5 = A (4 x^{4} + 4 x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.5

运用分配律。

$4 x - 5 = A (4 x^{4}) + A (4 x^{2}) + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.6

化简。

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解题步骤 1.6.6.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + A (4 x^{2}) + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.6.3

将 $A$ 乘以 $1$ 。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.7

约去 ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.7.1

约去公因数。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.7.2

用 $(B x + C) (x)$ 除以 $1$ 。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + (B x + C) (x) + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.8

运用分配律。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x \cdot x + C x + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.9

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.9.1

移动 $x$ 。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.9.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.10

约去 ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ 和 $2 x^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.10.1

从 $(D x + F) (x {(2 x^{2} + 1)}^{2})$ 中分解出因数 $2 x^{2} + 1$ 。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(2 x^{2} + 1) ((D x + F) (x (2 x^{2} + 1)))}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 1.6.10.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.10.2.1

乘以 $1$ 。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(2 x^{2} + 1) ((D x + F) (x (2 x^{2} + 1)))}{(2 x^{2} + 1) \cdot 1}$

解题步骤 1.6.10.2.2

约去公因数。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(2 x^{2} + 1) ((D x + F) (x (2 x^{2} + 1)))}{(2 x^{2} + 1) \cdot 1}$

解题步骤 1.6.10.2.3

重写表达式。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(D x + F) (x (2 x^{2} + 1))}{1}$

解题步骤 1.6.10.2.4

用 $(D x + F) (x (2 x^{2} + 1))$ 除以 $1$ 。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x (2 x^{2} + 1))$

解题步骤 1.6.11

运用分配律。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x (2 x^{2}) + x \cdot 1)$

解题步骤 1.6.12

使用乘法的交换性质重写。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (2 x \cdot x^{2} + x \cdot 1)$

解题步骤 1.6.13

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (2 x \cdot x^{2} + x)$

解题步骤 1.6.14

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.6.14.1

移动 $x^{2}$ 。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (2 (x^{2} x) + x)$

解题步骤 1.6.14.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.14.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (2 (x^{2} x) + x)$

解题步骤 1.6.14.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (2 x^{2 + 1} + x)$

解题步骤 1.6.14.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (2 x^{3} + x)$

解题步骤 1.6.15

使用 FOIL 方法展开 $(D x + F) (2 x^{3} + x)$ 。

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解题步骤 1.6.15.1

运用分配律。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x (2 x^{3} + x) + F (2 x^{3} + x)$

解题步骤 1.6.15.2

运用分配律。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x (2 x^{3}) + D x \cdot x + F (2 x^{3} + x)$

解题步骤 1.6.15.3

运用分配律。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x (2 x^{3}) + D x \cdot x + F (2 x^{3}) + F x$

解题步骤 1.6.16

化简每一项。

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解题步骤 1.6.16.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D x \cdot x^{3} + D x \cdot x + F (2 x^{3}) + F x$

解题步骤 1.6.16.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.6.16.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D (x^{3} x) + D x \cdot x + F (2 x^{3}) + F x$

解题步骤 1.6.16.2.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.16.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D (x^{3} x) + D x \cdot x + F (2 x^{3}) + F x$

解题步骤 1.6.16.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{3 + 1} + D x \cdot x + F (2 x^{3}) + F x$

解题步骤 1.6.16.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x \cdot x + F (2 x^{3}) + F x$

解题步骤 1.6.16.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.16.3.1

移动 $x$ 。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D (x \cdot x) + F (2 x^{3}) + F x$

解题步骤 1.6.16.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x^{2} + F (2 x^{3}) + F x$

解题步骤 1.6.16.4

使用乘法的交换性质重写。

$4 x - 5 = 4 A x^{4} + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x^{2} + 2 F x^{3} + F x$

解题步骤 1.7

化简表达式。

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解题步骤 1.7.1

移动 $A$ 。

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x^{2} + 2 F x^{3} + F x$

解题步骤 1.7.2

移动 $A$ 。

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x^{2} + 2 F x^{3} + F x$

解题步骤 1.7.3

将 $B$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x^{2} + 2 F x^{3} + F x$

解题步骤 1.7.4

移动 $F$ 。

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x^{2} + 2 x^{3} F + F x$

解题步骤 1.7.5

将 $F$ 和 $x$ 重新排序。

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x^{2} + 2 x^{3} F + F x$

解题步骤 1.7.6

移动 $A$ 。

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 x^{2} A + B x^{2} + C x + 2 D x^{4} + D x^{2} + 2 x^{3} F + F x + A$

解题步骤 1.7.7

移动 $C x$ 。

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 x^{2} A + B x^{2} + 2 D x^{4} + D x^{2} + 2 x^{3} F + C x + F x + A$

解题步骤 1.7.8

移动 $D x^{2}$ 。

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 x^{2} A + B x^{2} + 2 D x^{4} + 2 x^{3} F + D x^{2} + C x + F x + A$

解题步骤 1.7.9

移动 $B x^{2}$ 。

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 4 x^{2} A + 2 D x^{4} + 2 x^{3} F + B x^{2} + D x^{2} + C x + F x + A$

解题步骤 1.7.10

移动 $4 x^{2} A$ 。

$4 x - 5 = 4 x^{4} A + 2 D x^{4} + 2 x^{3} F + 4 x^{2} A + B x^{2} + D x^{2} + C x + F x + A$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x^{4}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = 4 A + 2 D$

解题步骤 2.2

使方程两边 $x^{3}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = 2 F$

解题步骤 2.3

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = 4 A + B + D$

解题步骤 2.4

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$4 = C + F$

解题步骤 2.5

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 5 = A$

解题步骤 2.6

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 2 F$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 2 F$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $0 = 2 F$ 中求解 $F$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $2 F = 0$ 。

$2 F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

解题步骤 3.1.2

将 $2 F = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $2 F = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 F}{2} = \frac{0}{2}$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

解题步骤 3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.1.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 F}{2} = \frac{0}{2}$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

解题步骤 3.1.2.2.1.2

用 $F$ 除以 $1$ 。

$F = \frac{0}{2}$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

$F = \frac{0}{2}$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

$F = \frac{0}{2}$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

解题步骤 3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.1.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$4 = C + F$

$- 5 = A$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $F$ 替换成 $0$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $0$ 替换 $4 = C + F$ 中所有出现的 $F$ .

$4 = C + 0$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$- 5 = A$

解题步骤 3.2.2

化简 $4 = C + 0$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1.1

去掉圆括号。

$4 = C + 0$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$- 5 = A$

$4 = C + 0$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$- 5 = A$

解题步骤 3.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

将 $C$ 和 $0$ 相加。

$4 = C$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$- 5 = A$

$4 = C$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$- 5 = A$

$4 = C$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$- 5 = A$

解题步骤 3.2.3

将方程重写为 $A = - 5$ 。

$A = - 5$

$4 = C$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

$A = - 5$

$4 = C$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

解题步骤 3.3

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- 5$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $C = 4$ 。

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = 4 A + 2 D$

$0 = 4 A + B + D$

解题步骤 3.3.2

使用 $- 5$ 替换 $0 = 4 A + 2 D$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = 4 (- 5) + 2 D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = 4 A + B + D$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$0 = - 20 + 2 D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = 4 A + B + D$

$0 = - 20 + 2 D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = 4 A + B + D$

解题步骤 3.3.4

使用 $- 5$ 替换 $0 = 4 A + B + D$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = 4 (- 5) + B + D$

$0 = - 20 + 2 D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

解题步骤 3.3.5

化简右边。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$0 = - 20 + B + D$

$0 = - 20 + 2 D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = - 20 + B + D$

$0 = - 20 + 2 D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = - 20 + B + D$

$0 = - 20 + 2 D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

解题步骤 3.4

在 $0 = - 20 + 2 D$ 中求解 $D$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $- 20 + 2 D = 0$ 。

$- 20 + 2 D = 0$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $20$ 。

$2 D = 20$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

解题步骤 3.4.3

将 $2 D = 20$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $2 D = 20$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 D}{2} = \frac{20}{2}$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

解题步骤 3.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 D}{2} = \frac{20}{2}$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

解题步骤 3.4.3.2.1.2

用 $D$ 除以 $1$ 。

$D = \frac{20}{2}$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$D = \frac{20}{2}$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$D = \frac{20}{2}$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

解题步骤 3.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.3.1

用 $20$ 除以 $2$ 。

$D = 10$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$D = 10$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$D = 10$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$D = 10$

$0 = - 20 + B + D$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

解题步骤 3.5

将每个方程中所有出现的 $D$ 替换成 $10$ 。

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解题步骤 3.5.1

使用 $10$ 替换 $0 = - 20 + B + D$ 中所有出现的 $D$ .

$0 = - 20 + B + 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

解题步骤 3.5.2

化简 $0 = - 20 + B + 10$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1.1

去掉圆括号。

$0 = - 20 + B + 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = - 20 + B + 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

解题步骤 3.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

将 $- 20$ 和 $10$ 相加。

$0 = B - 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = B - 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = B - 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$0 = B - 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

解题步骤 3.6

在 $0 = B - 10$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.6.1

将方程重写为 $B - 10 = 0$ 。

$B - 10 = 0$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

解题步骤 3.6.2

在等式两边都加上 $10$ 。

$B = 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

$B = 10$

$D = 10$

$C = 4$

$A = - 5$

$F = 0$

解题步骤 3.7

求解方程组。

$B = 10 D = 10 C = 4 A = - 5 F = 0$

解题步骤 3.8

列出所有解。

$B = 10, D = 10, C = 4, A = - 5, F = 0$

解题步骤 4

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{D x + F}{2 x^{2} + 1}$ with the values found for $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , and $F$ .

$- \frac{5}{x} + \frac{10 x + 4}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{10 x + 0}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

去掉圆括号。

$\frac{- 5}{x} + \frac{(10) \cdot x + 4}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(10) \cdot x + 0}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 5.2

将 $10$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 5}{x} + \frac{10 x + 4}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(10) \cdot x + 0}{2 x^{2} + 1}$

解题步骤 5.3

将 $(10) \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 5}{x} + \frac{10 x + 4}{{(2 x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{10 x}{2 x^{2} + 1}$

初级微积分 示例

初级微积分示例