初级微积分示例

$\frac{x}{(x + 2) (x + 5)}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 2}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 5}$

解题步骤 1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x + 2) (x + 5)$ 。

$\frac{x (x + 2) (x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

解题步骤 1.4

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

约去公因数。

$\frac{x (x + 2) (x + 5)}{(x + 2) (x + 5)} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

解题步骤 1.4.2

重写表达式。

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

解题步骤 1.5

约去 $x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{x (x + 5)}{x + 5} = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

解题步骤 1.5.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{(A) (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

解题步骤 1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1.1

约去公因数。

$x = \frac{A (x + 2) (x + 5)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

解题步骤 1.6.1.2

用 $(A) (x + 5)$ 除以 $1$ 。

$x = (A) (x + 5) + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

解题步骤 1.6.2

运用分配律。

$x = A x + A \cdot 5 + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

解题步骤 1.6.3

将 $5$ 移到 $A$ 的左侧。

$x = A x + 5 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

解题步骤 1.6.4

约去 $x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.4.1

约去公因数。

$x = A x + 5 A + \frac{(B) (x + 2) (x + 5)}{x + 5}$

解题步骤 1.6.4.2

用 $(B) (x + 2)$ 除以 $1$ 。

$x = A x + 5 A + (B) (x + 2)$

解题步骤 1.6.5

运用分配律。

$x = A x + 5 A + B x + B \cdot 2$

解题步骤 1.6.6

将 $2$ 移到 $B$ 的左侧。

$x = A x + 5 A + B x + 2 B$

解题步骤 1.7

移动 $5 A$ 。

$x = A x + B x + 5 A + 2 B$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + B$

解题步骤 2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = 5 A + 2 B$

解题步骤 2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = A + B$

$0 = 5 A + 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 5 A + 2 B$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $1 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $A + B = 1$ 。

$A + B = 1$

$0 = 5 A + 2 B$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = 1 - B$

$0 = 5 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 A + 2 B$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1 - B$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $1 - B$ 替换 $0 = 5 A + 2 B$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = 5 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $5 (1 - B) + 2 B$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

运用分配律。

$0 = 5 \cdot 1 + 5 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$0 = 5 + 5 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$0 = 5 - 5 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 5 B + 2 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $- 5 B$ 和 $2 B$ 相加。

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

$0 = 5 - 3 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.3

在 $0 = 5 - 3 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $5 - 3 B = 0$ 。

$5 - 3 B = 0$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.3.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- 3 B = - 5$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.3.3

将 $- 3 B = - 5$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $- 3 B = - 5$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 3}$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{3}$

$A = 1 - B$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $\frac{5}{3}$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\frac{5}{3}$ 替换 $A = 1 - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 1 - (\frac{5}{3})$

$B = \frac{5}{3}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $1 - (\frac{5}{3})$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$A = \frac{3}{3} - \frac{5}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2

在公分母上合并分子。

$A = \frac{3 - 5}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

解题步骤 3.4.2.1.3

从 $3$ 中减去 $5$ 。

$A = \frac{- 2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

解题步骤 3.4.2.1.4

将负号移到分数的前面。

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

$A = - \frac{2}{3}$

$B = \frac{5}{3}$

解题步骤 3.5

列出所有解。

$A = - \frac{2}{3}, B = \frac{5}{3}$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 5}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{- \frac{2}{3}}{x + 2} + \frac{\frac{5}{3}}{x + 5}$

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