初级微积分示例

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$

解题步骤 1

求 x 轴截距。

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解题步骤 1.1

要求 x 轴截距，请将 $0$ 代入 $y$ 并求解 $x$ 。

$0 = x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$

解题步骤 1.2

求解方程。

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解题步骤 1.2.1

将方程重写为 $x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24 = 0$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24 = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.2.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 24, \pm 2, \pm 12, \pm 3, \pm 8, \pm 4, \pm 6$

解题步骤 1.2.2.1.3

代入 $- 2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 2$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.2.2.1.3.1

将 $- 2$ 代入多项式。

${(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 10 \cdot - 2 - 24$

解题步骤 1.2.2.1.3.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 10 \cdot - 2 - 24$

解题步骤 1.2.2.1.3.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 8 + 3 \cdot 4 - 10 \cdot - 2 - 24$

解题步骤 1.2.2.1.3.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$- 8 + 12 - 10 \cdot - 2 - 24$

解题步骤 1.2.2.1.3.5

将 $- 8$ 和 $12$ 相加。

$4 - 10 \cdot - 2 - 24$

解题步骤 1.2.2.1.3.6

将 $- 10$ 乘以 $- 2$ 。

$4 + 20 - 24$

解题步骤 1.2.2.1.3.7

将 $4$ 和 $20$ 相加。

$24 - 24$

解题步骤 1.2.2.1.3.8

从 $24$ 中减去 $24$ 。

$0$

解题步骤 1.2.2.1.4

因为 $- 2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24}{x + 2}$

解题步骤 1.2.2.1.5

用 $x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$ 除以 $x + 2$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$10 x$

$24$

解题步骤 1.2.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$

解题步骤 1.2.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 1.2.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 1.2.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

解题步骤 1.2.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$

解题步骤 1.2.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$

解题步骤 1.2.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 1.2.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 2 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 1.2.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$

解题步骤 1.2.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$

解题步骤 1.2.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 12 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$

解题步骤 1.2.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$
							-	$12 x$	-	$24$

解题步骤 1.2.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 12 x - 24$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$
							+	$12 x$	+	$24$

解题步骤 1.2.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$x$	-	$12$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$10 x$	-	$24$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$10 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$
							-	$12 x$	-	$24$
							+	$12 x$	+	$24$
										$0$

解题步骤 1.2.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + x - 12$

解题步骤 1.2.2.1.6

将 $x^{3} + 3 x^{2} - 10 x - 24$ 书写为因数的集合。

$(x + 2) (x^{2} + x - 12) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $1$ 。

$- 3, 4$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 2) ((x - 3) (x + 4)) = 0$

解题步骤 1.2.2.2.2

去掉多余的括号。

$(x + 2) (x - 3) (x + 4) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 1.2.5

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 1.2.6

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 1.2.7

最终解为使 $(x + 2) (x - 3) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 3, - 4$

解题步骤 1.3

以点的形式表示的 x 轴截距。

x 轴截距： $(- 2, 0), (3, 0), (- 4, 0)$

解题步骤 2

求 y 轴截距

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解题步骤 2.1

要求 y 轴截距，请将 $0$ 代入 $x$ 并求解 $y$ 。

$y = {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 - 24$

解题步骤 2.2

求解方程。

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解题步骤 2.2.1

去掉圆括号。

$y = 0^{3} + 3 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 - 24$

解题步骤 2.2.2

去掉圆括号。

$y = 0^{3} + 3 \cdot 0^{2} - 10 \cdot 0 - 24$

解题步骤 2.2.3

去掉圆括号。

$y = {(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 - 24$

解题步骤 2.2.4

化简 ${(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 - 24$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.4.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 + 3 {(0)}^{2} - 10 \cdot 0 - 24$

解题步骤 2.2.4.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 + 3 \cdot 0 - 10 \cdot 0 - 24$

解题步骤 2.2.4.1.3

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 - 10 \cdot 0 - 24$

解题步骤 2.2.4.1.4

将 $- 10$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 0 - 24$

解题步骤 2.2.4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.4.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 0 - 24$

解题步骤 2.2.4.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 - 24$

解题步骤 2.2.4.2.3

从 $0$ 中减去 $24$ 。

$y = - 24$

解题步骤 2.3

以点的形式表示的 y 轴截距。

y 轴截距： $(0, - 24)$

解题步骤 3

列出交点。

x 轴截距： $(- 2, 0), (3, 0), (- 4, 0)$

y 轴截距： $(0, - 24)$

解题步骤 4

初级微积分 示例

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