初级微积分示例

$x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8$

解题步骤 1

将 $x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} + 6 x^{3} + 7 x^{2} - 6 x - 8 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$6 x^{3} - 6 x + x^{4} + 7 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $6 x^{3} - 6 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $6 x^{3}$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (x^{2}) - 6 x + x^{4} + 7 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.1.2.2

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (x^{2}) + 6 x (- 1) + x^{4} + 7 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $6 x (x^{2}) + 6 x (- 1)$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 7 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$6 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 7 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.1.4

因数。

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解题步骤 2.1.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$6 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 7 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.1.4.2

去掉多余的括号。

$6 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 7 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.1.5

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$6 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} - 8 = 0$

解题步骤 2.1.6

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$6 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 7 u - 8 = 0$

解题步骤 2.1.7

使用 AC 法来对 $u^{2} + 7 u - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.7.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $7$ 。

$- 1, 8$

解题步骤 2.1.7.2

使用这些整数书写分数形式。

$6 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 8) = 0$

解题步骤 2.1.8

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 8) = 0$

解题步骤 2.1.9

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$6 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 8) = 0$

解题步骤 2.1.10

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$6 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 8) = 0$

解题步骤 2.1.11

从 $6 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 8)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.11.1

从 $6 x (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$(x + 1) (x - 1) (6 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 8) = 0$

解题步骤 2.1.11.2

从 $(x + 1) (x - 1) (6 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 8)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$(x + 1) (x - 1) (6 x + x^{2} + 8) = 0$

解题步骤 2.1.12

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x + 1) (x - 1) (6 u + u^{2} + 8) = 0$

解题步骤 2.1.13

使用 AC 法来对 $6 u + u^{2} + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.13.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $6$ 。

$2, 4$

解题步骤 2.1.13.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 1) (x - 1) ((u + 2) (u + 4)) = 0$

解题步骤 2.1.14

因数。

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解题步骤 2.1.14.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x + 1) (x - 1) ((x + 2) (x + 4)) = 0$

解题步骤 2.1.14.2

去掉多余的括号。

$(x + 1) (x - 1) (x + 2) (x + 4) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.6

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 2.6.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 2.7

最终解为使 $(x + 1) (x - 1) (x + 2) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 1, - 2, - 4$

解题步骤 3

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